Theorem dvfsumrlim3 23796

Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 23794 and dvfsumrlim2 23795. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsumrlim.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k ) ) -> C <_ B )
dvfsumrlim.g	|- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
dvfsumrlim.k	|- ( ph -> ( x e. S |-> B ) ~~> r 0 )
dvfsumrlim3.1	|- ( x = X -> B = E )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim3	|- ( ph -> ( G : S --> RR /\ G e. dom ~~> r /\ ( ( G ~~> r L /\ X e. S /\ D <_ X ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) - L ) ) <_ E ) ) )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   x, E   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   x, Z   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   E( k)   G( x, k)   L( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . 3 |- S = ( T (,) +oo )
2		dvfsum.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		dvfsum.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		dvfsum.d	. . 3 |- ( ph -> D e. RR )
5		dvfsum.md	. . 3 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
6		dvfsum.t	. . 3 |- ( ph -> T e. RR )
7		dvfsum.a	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
8		dvfsum.b1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
9		dvfsum.b2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
10		dvfsum.b3	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
11		dvfsum.c	. . 3 |- ( x = k -> B = C )
12		dvfsumrlim.g	. . 3 |- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dvfsumrlimf 23788	. 2 |- ( ph -> G : S --> RR )
14		dvfsumrlim.l	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k ) ) -> C <_ B )
15		dvfsumrlim.k	. . 3 |- ( ph -> ( x e. S |-> B ) ~~> r 0 )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15	dvfsumrlim 23794	. 2 |- ( ph -> G e. dom ~~> r )
17	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) -> M e. ZZ )
18	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) -> D e. RR )
19	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) -> M <_ ( D + 1 ) )
20	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) -> T e. RR )
21	7	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) /\ x e. S ) -> A e. RR )
22	8	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) /\ x e. S ) -> B e. V )
23	9	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) /\ x e. Z ) -> B e. RR )
24	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
25	14	3adant1r 1319	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k ) ) -> C <_ B )
26	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) -> ( x e. S |-> B ) ~~> r 0 )
27		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) -> X e. S )
28		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) -> D <_ X )
29	1, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28	dvfsumrlim2 23795	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) /\ G ~~> r L ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) - L ) ) <_ [_ X / x ]_ B )
30	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) /\ G ~~> r L ) -> X e. S )
31		nfcvd 2765	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> F/_ x E )
32		dvfsumrlim3.1	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> B = E )
33	31, 32	csbiegf 3557	. . . . . . 7 |- ( X e. S -> [_ X / x ]_ B = E )
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) /\ G ~~> r L ) -> [_ X / x ]_ B = E )
35	29, 34	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( D <_ X /\ X e. S ) ) /\ G ~~> r L ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) - L ) ) <_ E )
36	35	exp42 639	. . . 4 |- ( ph -> ( D <_ X -> ( X e. S -> ( G ~~> r L -> ( abs ` ( ( G ` X ) - L ) ) <_ E ) ) ) )
37	36	com24 95	. . 3 |- ( ph -> ( G ~~> r L -> ( X e. S -> ( D <_ X -> ( abs ` ( ( G ` X ) - L ) ) <_ E ) ) ) )
38	37	3impd 1281	. 2 |- ( ph -> ( ( G ~~> r L /\ X e. S /\ D <_ X ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) - L ) ) <_ E ) )
39	13, 16, 38	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( G : S --> RR /\ G e. dom ~~> r /\ ( ( G ~~> r L /\ X e. S /\ D <_ X ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) - L ) ) <_ E ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   [_csb 3533   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   sum_csu 14416   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  divsqrtsumlem  24706  logdivsum  25222