Theorem lebnumlem2 22761

Description: Lemma for lebnum 22763. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 22659, the function F is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
lebnum.d	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
lebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
lebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
lebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )
lebnumlem1.u	|- ( ph -> U e. Fin )
lebnumlem1.n	|- ( ph -> -. X e. U )
lebnumlem1.f	|- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
lebnumlem2.k	|- K = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
lebnumlem2	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   y, k, z, D   k, J, y, z   U, k, y, z   ph, k, y, z   k, X, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z, k)   K( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lebnumlem1.f	. . . 4 |- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
3		lebnum.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4		metxmet 22139	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
6		lebnum.j	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` D )
7	6	mopntopon 22244	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
9		lebnumlem1.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
10	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> D e. ( Met ` X ) )
11		difssd 3738	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( X \ k ) C_ X )
12	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> D e. ( *Met ` X ) )
13	12, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14		lebnum.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U C_ J )
15	14	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> k e. J )
16		toponss 20731	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k e. J ) -> k C_ X )
17	13, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> k C_ X )
18		lebnumlem1.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. X e. U )
19		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = X -> ( k e. U <-> X e. U ) )
20	19	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( k = X -> ( -. k e. U <-> -. X e. U ) )
21	18, 20	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k = X -> -. k e. U ) )
22	21	necon2ad 2809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. U -> k =/= X ) )
23	22	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> k =/= X )
24		pssdifn0 3944	. . . . . . 7 |- ( ( k C_ X /\ k =/= X ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
25	17, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
26		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) = ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
27	26, 6, 2	metdscn2 22660	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ ( X \ k ) =/= (/) ) -> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) e. ( J Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
28	10, 11, 25, 27	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) e. ( J Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
29	2, 8, 9, 28	fsumcn 22673	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. X |-> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) e. ( J Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
30	1, 29	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> F e. ( J Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
31	2	cnfldtopon 22586	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
32	31	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) )
33		lebnum.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Comp )
34		lebnum.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. U )
35	6, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1	lebnumlem1 22760	. . . . . 6 |- ( ph -> F : X --> RR+ )
36		frn 6053	. . . . . 6 |- ( F : X --> RR+ -> ran F C_ RR+ )
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran F C_ RR+ )
38		rpssre 11843	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
39	37, 38	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> ran F C_ RR )
40		ax-resscn 9993	. . . . 5 |- RR C_ CC
41	40	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR C_ CC )
42		cnrest2 21090	. . . 4 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ran F C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( F e. ( J Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> F e. ( J Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
43	32, 39, 41, 42	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> F e. ( J Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
44	30, 43	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> F e. ( J Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
45		lebnumlem2.k	. . . 4 |- K = ( topGen ` ran (,) )
46	2	tgioo2 22606	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
47	45, 46	eqtri 2644	. . 3 |- K = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
48	47	oveq2i 6661	. 2 |- ( J Cn K ) = ( J Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
49	44, 48	syl6eleqr 2712	1 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   sum_csu 14416   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  lebnumlem3  22762