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Theorem fsumcube 14791

Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
fsumcube

Distinct variable group:

**Proof of Theorem fsumcube**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11310	. . 3
2		fsumkthpow 14787	. . 3 $/\$ BernPoly BernPoly
3	1, 2	mpan 706	. 2 BernPoly BernPoly
4		df-4 11081	. . . . . 6
5	4	oveq1i 6660	. . . . 5 BernPoly BernPoly
6	4	oveq1i 6660	. . . . 5 BernPoly BernPoly
7	5, 6	oveq12i 6662	. . . 4 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
8	7, 4	oveq12i 6662	. . 3 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
9		nn0cn 11302	. . . . . . . 8
10		peano2cn 10208	. . . . . . . 8
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7
12		bpoly4 14790	. . . . . . 7 BernPoly ;
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 BernPoly ;
14		4nn 11187	. . . . . . . . . . . . . 14
15		0exp 12895	. . . . . . . . . . . . . 14
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
17		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18		0exp 12895	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14
21		2t0e0 11183	. . . . . . . . . . . . . 14
22	20, 21	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13
23	16, 22	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . 12
24		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . . 12
25	23, 24	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11
26		sq0 12955	. . . . . . . . . . 11
27	25, 26	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
28		00id 10211	. . . . . . . . . 10
29	27, 28	eqtri 2644	. . . . . . . . 9
30	29	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ; ;
31		0cn 10032	. . . . . . . . 9
32		bpoly4 14790	. . . . . . . . 9 BernPoly ;
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 BernPoly ;
34		df-neg 10269	. . . . . . . 8 ; ;
35	30, 33, 34	3eqtr4i 2654	. . . . . . 7 BernPoly ;
36	35	a1i 11	. . . . . 6 BernPoly ;
37	13, 36	oveq12d 6668	. . . . 5 BernPoly BernPoly ; ;
38		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . 12
39		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
40	38, 39	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11
41		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12
42		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43	1, 42	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12
44		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	41, 43, 44	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
46	40, 45	subcld 10392	. . . . . . . . . 10
47		sqcl 12925	. . . . . . . . . 10
48	46, 47	addcld 10059	. . . . . . . . 9
49	10, 48	syl 17	. . . . . . . 8
50	9, 49	syl 17	. . . . . . 7
51		0nn0 11307	. . . . . . . . . 10
52	1, 51	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ;
53	52	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 ;
54	52	nn0rei 11303	. . . . . . . . 9 ;
55		10pos 11515	. . . . . . . . . 10 ;
56	17, 51, 51, 55	declti 11546	. . . . . . . . 9 ;
57	54, 56	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . 8 ;
58	53, 57	reccli 10755	. . . . . . 7 ;
59		subcl 10280	. . . . . . 7 $/\$ ; ;
60	50, 58, 59	sylancl 694	. . . . . 6 ;
61		subneg 10330	. . . . . 6 ; $/\$ ; ; ; ; ;
62	60, 58, 61	sylancl 694	. . . . 5 ; ; ; ;
63		npcan 10290	. . . . . . . 8 $/\$ ; ; ;
64	49, 58, 63	sylancl 694	. . . . . . 7 ; ;
65	9, 64	syl 17	. . . . . 6 ; ;
66		2p2e4 11144	. . . . . . . . . . 11
67	66	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10
68	67	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9
69		df-3 11080	. . . . . . . . . . 11
70	69	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10
71	70	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9
72	68, 71	oveq12i 6662	. . . . . . . 8
73	72	oveq1i 6660	. . . . . . 7
74		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13
75		expadd 12902	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
76	74, 74, 75	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . 12
77		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . 14
78		expadd 12902	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
79	74, 77, 78	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . 13
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
81	76, 80	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
82	10, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10
83	10	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12
84	83	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11
85	84	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10
86	82, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
87	10	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
91	87, 10	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15
92		mul12 10202	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
93	41, 83, 91, 92	mp3an2i 1429	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
95		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
96	41, 10, 95	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
97	83, 83, 96	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13
98	90, 94, 97	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12
99	98	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
100	83, 96	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12
101		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13
102		adddi 10025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104	83, 100, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
105	99, 104	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10
106		adddi 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
107	41, 101, 106	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
109	108	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
110	107, 109	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
111	110	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
112		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
113	41, 112	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114		addsubass 10291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
115	41, 101, 114	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	113, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
117		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16
118	117	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15
119	116, 118	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
120	111, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
121	120	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
122		subsub 10311	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
123	101, 122	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
124	83, 96, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
125		sqcl 12925	. . . . . . . . . . . . 13
126		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . 14
127	113, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
128		binom21 12980	. . . . . . . . . . . . . 14
129		addass 10023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
130	101, 129	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
131	125, 113, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14
132	128, 131	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
133	125, 127, 132	mvrraddd 10445	. . . . . . . . . . . 12
134	121, 124, 133	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11
135	134	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
136	83, 125	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10
137	105, 135, 136	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9
138	86, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
139	9, 138	syl 17	. . . . . . 7
140	73, 139	syl5eq 2668	. . . . . 6
141	65, 140	eqtrd 2656	. . . . 5 ; ;
142	37, 62, 141	3eqtrd 2660	. . . 4 BernPoly BernPoly
143	142	oveq1d 6665	. . 3 BernPoly BernPoly
144	8, 143	syl5eqr 2670	. 2 BernPoly BernPoly
145	3, 144	eqtrd 2656	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wceq 1483

wcel 1990 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

cn0 11292 ;cdc 11493

cfz 12326

cexp 12860

csu 14416 BernPoly cbp 14777

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-bpoly 14778

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