Theorem ftc1cnnc 33484

Description: Choice-free proof of ftc1cn 23806. (Contributed by Brendan Leahy, 20-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1cnnc.g	|- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
ftc1cnnc.a	|- ( ph -> A e. RR )
ftc1cnnc.b	|- ( ph -> B e. RR )
ftc1cnnc.le	|- ( ph -> A <_ B )
ftc1cnnc.f	|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i	|- ( ph -> F e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
ftc1cnnc	|- ( ph -> ( RR _D G ) = F )

Distinct variable groups:   x, t, A   x, B, t   x, F, t   ph, x, t

Allowed substitution hints:   G( x, t)

Proof of Theorem ftc1cnnc

Dummy variables y z s u v w c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvf 23671	. . . . 5 |- ( RR _D G ) : dom ( RR _D G ) --> CC
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D G ) : dom ( RR _D G ) --> CC )
3		ffun 6048	. . . 4 |- ( ( RR _D G ) : dom ( RR _D G ) --> CC -> Fun ( RR _D G ) )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun ( RR _D G ) )
5		ax-resscn 9993	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
7		ftc1cnnc.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
8		ftc1cnnc.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
9		ftc1cnnc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
10		ftc1cnnc.le	. . . . . . 7 |- ( ph -> A <_ B )
11		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ ( A (,) B )
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
13		ioossre 12235	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ RR
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
15		ftc1cnnc.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. L^1 )
16		ftc1cnnc.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
17		cncff 22696	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
19	7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18	ftc1lem2 23799	. . . . . 6 |- ( ph -> G : ( A [,] B ) --> CC )
20		iccssre 12255	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
21	8, 9, 20	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
22		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
23	22	tgioo2 22606	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
24	6, 19, 21, 23, 22	dvbssntr 23664	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( RR _D G ) C_ ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) )
25		iccntr 22624	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
26	8, 9, 25	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
27	24, 26	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D G ) C_ ( A (,) B ) )
28		retop 22565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
29	23, 28	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) e. Top
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) e. Top )
31	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
32		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
33	32, 23	eleqtri 2699	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
35		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) )
37		uniretop 22566	. . . . . . . . . . . 12 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
38	23	unieqi 4445	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( topGen ` ran (,) ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
39	37, 38	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- RR = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
40	39	ssntr 20862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) e. Top /\ ( A [,] B ) C_ RR ) /\ ( ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) /\ ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) ) ) -> ( A (,) B ) C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ` ( A [,] B ) ) )
41	30, 31, 34, 36, 40	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( A (,) B ) C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ` ( A [,] B ) ) )
42		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> c e. ( A (,) B ) )
43	41, 42	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> c e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ` ( A [,] B ) ) )
44	18	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` c ) e. CC )
45		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
46	13, 5	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) C_ CC
47		xmetres2 22166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( A (,) B ) C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) e. ( *Met ` ( A (,) B ) ) )
48	45, 46, 47	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) e. ( *Met ` ( A (,) B ) )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) e. ( *Met ` ( A (,) B ) ) )
50	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
51		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC C_ CC
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) )
53	22	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
54	22	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
55	54	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
56	55	restid 16094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
57	53, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
58	57	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
59	22, 52, 58	cncfcn 22712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
60	46, 51, 59	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
61	16, 60	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
62		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( A (,) B ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) )
63	54, 46, 62	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) )
64	63	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A (,) B ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) )
65	64	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. ( A (,) B ) <-> c e. U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) )
66	65	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. ( A (,) B ) -> c e. U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) )
67		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) )
68	67	cncnpi 21082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) /\ c e. U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` c ) )
69	61, 66, 68	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` c ) )
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) )
71	22	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) )
73	70, 71, 72	metrest 22329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( A (,) B ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) ) )
74	45, 46, 73	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) )
75	74	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) )
76	75	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` c ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` c )
77	69, 76	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` c ) )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ w e. RR+ ) -> F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` c ) )
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ w e. RR+ ) -> w e. RR+ )
80	72, 71	metcnpi2 22350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) e. ( *Met ` ( A (,) B ) ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` c ) /\ w e. RR+ ) ) -> E. v e. RR+ A. u e. ( A (,) B ) ( ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) < v -> ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) < w ) )
81	49, 50, 78, 79, 80	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ w e. RR+ ) -> E. v e. RR+ A. u e. ( A (,) B ) ( ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) < v -> ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) < w ) )
82		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> u e. ( A (,) B ) )
83		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> c e. ( A (,) B ) )
84	82, 83	ovresd 6801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) = ( u ( abs o. - ) c ) )
85		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u e. ( A (,) B ) -> u e. RR )
86	85	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. ( A (,) B ) -> u e. CC )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> u e. CC )
88	46	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c e. ( A (,) B ) -> c e. CC )
89	88	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> c e. CC )
90		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
91	90	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u e. CC /\ c e. CC ) -> ( u ( abs o. - ) c ) = ( abs ` ( u - c ) ) )
92	87, 89, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( u ( abs o. - ) c ) = ( abs ` ( u - c ) ) )
93	84, 92	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) = ( abs ` ( u - c ) ) )
94	93	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) < v <-> ( abs ` ( u - c ) ) < v ) )
95	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
96	95	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
97	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` c ) e. CC )
98	90	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` u ) e. CC /\ ( F ` c ) e. CC ) -> ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) = ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) )
99	96, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) = ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) )
100	99	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) < w <-> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) )
101	94, 100	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) < v -> ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) )
102	101	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) -> ( A. u e. ( A (,) B ) ( ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) < v -> ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) < w ) <-> A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) )
103		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) )
104		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) -> z =/= c )
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> z =/= c )
106	21	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) \ { c } ) C_ RR )
107	106	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ) -> z e. RR )
108	107	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) ) -> z e. RR )
109	108	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> z e. RR )
110		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( c e. ( A (,) B ) -> c e. RR )
111	110	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> c e. RR )
112	109, 111	lttri2d 10176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> ( z =/= c <-> ( z < c \/ c < z ) ) )
113	112	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z =/= c ) -> ( z < c \/ c < z ) )
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( s = z -> ( G ` s ) = ( G ` z ) )
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( s = z -> ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) )
116		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( s = z -> ( s - c ) = ( z - c ) )
117	115, 116	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s = z -> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) = ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) )
118		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) = ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) )
119		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) e. _V
120	117, 118, 119	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) -> ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) = ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) )
121	120	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) = ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) )
122	121	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) = ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) )
123	19	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> G : ( A [,] B ) --> CC )
124		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) -> z e. ( A [,] B ) )
125	124	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> z e. ( A [,] B ) )
126	125	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> z e. ( A [,] B ) )
127	123, 126	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> ( G ` z ) e. CC )
128	35	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( c e. ( A (,) B ) -> c e. ( A [,] B ) )
129	19	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ c e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` c ) e. CC )
130	128, 129	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` c ) e. CC )
131	130	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> ( G ` c ) e. CC )
132	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> z e. RR )
133	132	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> z e. CC )
134	88	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> c e. CC )
135		ltne 10134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z e. RR /\ z < c ) -> c =/= z )
136	135	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z e. RR /\ z < c ) -> z =/= c )
137	109, 136	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> z =/= c )
138	127, 131, 133, 134, 137	div2subd 10851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) = ( ( ( G ` c ) - ( G ` z ) ) / ( c - z ) ) )
139	122, 138	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) = ( ( ( G ` c ) - ( G ` z ) ) / ( c - z ) ) )
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) = ( ( ( ( G ` c ) - ( G ` z ) ) / ( c - z ) ) - ( F ` c ) ) )
141	140	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( G ` c ) - ( G ` z ) ) / ( c - z ) ) - ( F ` c ) ) ) )
142	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> A e. RR )
143	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> B e. RR )
144	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> A <_ B )
145	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
146	15	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> F e. L^1 )
147		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> c e. ( A (,) B ) )
148		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> w e. RR+ )
149		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> v e. RR+ )
150		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) )
151		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = y -> ( u - c ) = ( y - c ) )
152	151	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = y -> ( abs ` ( u - c ) ) = ( abs ` ( y - c ) ) )
153	152	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = y -> ( ( abs ` ( u - c ) ) < v <-> ( abs ` ( y - c ) ) < v ) )
154		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = y -> ( F ` u ) = ( F ` y ) )
155	154	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = y -> ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) )
156	155	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = y -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) )
157	156	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = y -> ( ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < w ) )
158	153, 157	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = y -> ( ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( y - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) )
159	158	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( y - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < w ) )
160	150, 159	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( y - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < w ) )
161	103, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> z e. ( A [,] B ) )
162		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> ( abs ` ( z - c ) ) < v )
163	128	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> c e. ( A [,] B ) )
164	110	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( c e. ( A (,) B ) -> c e. CC )
165	164	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( c e. ( A (,) B ) -> ( c - c ) = 0 )
166	165	abs00bd 14031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( c - c ) ) = 0 )
167	166	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> ( abs ` ( c - c ) ) = 0 )
168	149	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> 0 < v )
169	167, 168	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> ( abs ` ( c - c ) ) < v )
170	7, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 161, 162, 163, 169	ftc1cnnclem 33483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` c ) - ( G ` z ) ) / ( c - z ) ) - ( F ` c ) ) ) < w )
171	141, 170	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z < c ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w )
172	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) -> ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) - ( F ` c ) ) )
173	172	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) - ( F ` c ) ) ) )
174	173	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) - ( F ` c ) ) ) )
175	174	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ c < z ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) - ( F ` c ) ) ) )
176	7, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 163, 169, 161, 162	ftc1cnnclem 33483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ c < z ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) - ( F ` c ) ) ) < w )
177	175, 176	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ c < z ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w )
178	171, 177	jaodan 826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ ( z < c \/ c < z ) ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w )
179	113, 178	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) /\ z =/= c ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w )
180	105, 179	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w )
181	180	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) ) -> ( ( abs ` ( z - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) )
182	181	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) /\ A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) ) -> ( ( z =/= c /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) )
183	182	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ) -> ( A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) -> ( ( z =/= c /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) )
184	183	ralrimdva 2969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) -> ( A. u e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( u - c ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` c ) ) ) < w ) -> A. z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ( ( z =/= c /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) )
185	102, 184	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) -> ( A. u e. ( A (,) B ) ( ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) < v -> ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) < w ) -> A. z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ( ( z =/= c /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) )
186	185	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ w e. RR+ ) /\ v e. RR+ ) -> ( A. u e. ( A (,) B ) ( ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) < v -> ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) < w ) -> A. z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ( ( z =/= c /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) )
187	186	reximdva 3017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( E. v e. RR+ A. u e. ( A (,) B ) ( ( u ( ( abs o. - ) |` ( ( A (,) B ) X. ( A (,) B ) ) ) c ) < v -> ( ( F ` u ) ( abs o. - ) ( F ` c ) ) < w ) -> E. v e. RR+ A. z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ( ( z =/= c /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) )
188	81, 187	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ w e. RR+ ) -> E. v e. RR+ A. z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ( ( z =/= c /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) )
189	188	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> A. w e. RR+ E. v e. RR+ A. z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ( ( z =/= c /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) )
190	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> G : ( A [,] B ) --> CC )
191	21, 5	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
192	191	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( A [,] B ) C_ CC )
193	128	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> c e. ( A [,] B ) )
194	190, 192, 193	dvlem 23660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) /\ s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ) -> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) e. CC )
195	194, 118	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) : ( ( A [,] B ) \ { c } ) --> CC )
196	191	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) \ { c } ) C_ CC )
197	196	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( ( A [,] B ) \ { c } ) C_ CC )
198	88	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> c e. CC )
199	195, 197, 198	ellimc3 23643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` c ) e. ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) lim CC c ) <-> ( ( F ` c ) e. CC /\ A. w e. RR+ E. v e. RR+ A. z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) ( ( z =/= c /\ ( abs ` ( z - c ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) ` z ) - ( F ` c ) ) ) < w ) ) ) )
200	44, 189, 199	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` c ) e. ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) lim CC c ) )
201		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
202	201, 22, 118, 6, 19, 21	eldv 23662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( c ( RR _D G ) ( F ` c ) <-> ( c e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ` ( A [,] B ) ) /\ ( F ` c ) e. ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) lim CC c ) ) ) )
203	202	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( c ( RR _D G ) ( F ` c ) <-> ( c e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ` ( A [,] B ) ) /\ ( F ` c ) e. ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` s ) - ( G ` c ) ) / ( s - c ) ) ) lim CC c ) ) ) )
204	43, 200, 203	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> c ( RR _D G ) ( F ` c ) )
205		vex 3203	. . . . . . . 8 |- c e. _V
206		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` c ) e. _V
207	205, 206	breldm 5329	. . . . . . 7 |- ( c ( RR _D G ) ( F ` c ) -> c e. dom ( RR _D G ) )
208	204, 207	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> c e. dom ( RR _D G ) )
209	208	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( c e. ( A (,) B ) -> c e. dom ( RR _D G ) ) )
210	209	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ dom ( RR _D G ) )
211	27, 210	eqssd 3620	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
212		df-fn 5891	. . 3 |- ( ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) <-> ( Fun ( RR _D G ) /\ dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) ) )
213	4, 211, 212	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) )
214		ffn 6045	. . 3 |- ( F : ( A (,) B ) --> CC -> F Fn ( A (,) B ) )
215	18, 214	syl 17	. 2 |- ( ph -> F Fn ( A (,) B ) )
216	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> Fun ( RR _D G ) )
217		funbrfv 6234	. . 3 |- ( Fun ( RR _D G ) -> ( c ( RR _D G ) ( F ` c ) -> ( ( RR _D G ) ` c ) = ( F ` c ) ) )
218	216, 204, 217	sylc 65	. 2 |- ( ( ph /\ c e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D G ) ` c ) = ( F ` c ) )
219	213, 215, 218	eqfnfvd 6314	1 |- ( ph -> ( RR _D G ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   -cn->ccncf 22679   L^1cibl 23386   S.citg 23387   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  ftc2nc  33494