Theorem hoidmv1lelem1 40805

Description: The supremum of U belongs to U. This is the last part of step (a) and the whole step (b) in the proof of Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv1lelem1.a	|- ( ph -> A e. RR )
hoidmv1lelem1.b	|- ( ph -> B e. RR )
hoidmv1lelem1.l	|- ( ph -> A < B )
hoidmv1lelem1.c	|- ( ph -> C : NN --> RR )
hoidmv1lelem1.d	|- ( ph -> D : NN --> RR )
hoidmv1lelem1.r	|- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
hoidmv1lelem1.u	|- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem1.s	|- S = sup ( U , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
hoidmv1lelem1	|- ( ph -> ( S e. U /\ A e. U /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )

Distinct variable groups:   A, j, z   y, A   x, B, y   z, B   z, C   z, D   S, j, z   U, j, z   x, U, y   ph, j, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( j)   C( x, y, j)   D( x, y, j)   S( x, y)

Proof of Theorem hoidmv1lelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv1lelem1.s	. . . . . 6 |- S = sup ( U , RR , < )
2		hoidmv1lelem1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		hoidmv1lelem1.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
4		hoidmv1lelem1.u	. . . . . . . . 9 |- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
5		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } C_ ( A [,] B )
6	4, 5	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- U C_ ( A [,] B )
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
8	2	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
9	3	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR* )
10		hoidmv1lelem1.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < B )
11	2, 3, 10	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ B )
12		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
14	2	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. CC )
15	14	subidd 10380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A - A ) = 0 )
16		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ph
17		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> NN e. _V )
19		volf 23297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
21		hoidmv1lelem1.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C : NN --> RR )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR )
23		hoidmv1lelem1.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D : NN --> RR )
24	23	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR )
25	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A e. RR )
26	24, 25	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) e. RR )
27	26	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) e. RR* )
28		icombl 23332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) e. dom vol )
29	22, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) e. dom vol )
30	20, 29	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
31	16, 18, 30	sge0ge0mpt 40655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) )
32	15, 31	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) )
33	13, 32	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A e. ( A [,] B ) /\ ( A - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) ) )
34		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = A -> ( z - A ) = ( A - A ) )
35		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = A -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ A ) )
36		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = A -> z = A )
37	35, 36	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = A -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) )
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = A -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = A -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) )
40	39	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = A -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) )
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = A -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) )
42	34, 41	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = A -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( A - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) ) )
43	42	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( A e. ( A [,] B ) /\ ( A - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) ) )
44	33, 43	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
45	44, 4	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. U )
46		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( A e. U -> U =/= (/) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U =/= (/) )
48	2, 3, 7, 47	supicc 12320	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( U , RR , < ) e. ( A [,] B ) )
49	1, 48	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> S e. ( A [,] B ) )
50	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> S = sup ( U , RR , < ) )
51		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ z ph
52	2, 3	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
53	7, 52	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ RR )
54	53	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z e. RR )
55		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j ( ph /\ z e. U )
56	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> NN e. _V )
57	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
58	22	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR )
59	24	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR )
60	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> z e. RR )
61	59, 60	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) e. RR )
62	61	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) e. RR* )
63		icombl 23332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) e. dom vol )
64	58, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) e. dom vol )
65	57, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
66	55, 56, 65	sge0xrclmpt 40645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) e. RR* )
67		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- +oo e. RR*
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> +oo e. RR* )
69		hoidmv1lelem1.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
70	69	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
72	24	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR* )
73		icombl 23332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ ( D ` j ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
74	22, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
75	20, 74	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
76	75	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
77	74	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
78	22	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR* )
79	78	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR* )
80	72	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR* )
81	22	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) )
82	81	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) )
83		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ z e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ ( D ` j ) )
84	59, 60, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ ( D ` j ) )
85		icossico 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
86	79, 80, 82, 84, 85	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
87		volss 23301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
88	64, 77, 86, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
89	55, 56, 65, 76, 88	sge0lempt 40627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )
90	69	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
92	66, 71, 68, 89, 91	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) < +oo )
93	66, 68, 92	xrltned 39573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) =/= +oo )
94	93	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = +oo )
95		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) )
96	65, 95	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
97	56, 96	sge0repnf 40603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = +oo ) )
98	94, 97	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) e. RR )
99	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> A e. RR )
100	98, 99	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) + A ) e. RR )
101	52, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S e. RR )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> S e. RR )
103	24, 102	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR )
104	103	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* )
105		icombl 23332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol )
106	22, 104, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol )
107	20, 106	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
108	16, 18, 107	sge0xrclmpt 40645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR* )
109	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> +oo e. RR* )
110		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ S e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) )
111	24, 102, 110	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) )
112		icossico 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
113	78, 72, 81, 111, 112	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
114		volss 23301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
115	106, 74, 113, 114	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
116	16, 18, 107, 75, 115	sge0lempt 40627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )
117	108, 70, 109, 116, 90	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) < +oo )
118	108, 109, 117	xrltned 39573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) =/= +oo )
119	118	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = +oo )
120		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) )
121	107, 120	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
122	18, 121	sge0repnf 40603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = +oo ) )
123	119, 122	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR )
124	123, 2	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) e. RR )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) e. RR )
126	4	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. U <-> z e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
127	126	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. U -> z e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
128	127	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
129		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( z e. ( A [,] B ) /\ ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) ) )
130	128, 129	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( z e. ( A [,] B ) /\ ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) ) )
131	130	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) )
132	54, 99, 98	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> z <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) + A ) ) )
133	131, 132	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) + A ) )
134	123	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR )
135	107	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
136	106	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol )
137	104	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* )
138	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) e. RR )
139		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) = ( D ` j ) )
140		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D ` j ) <_ z -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = ( D ` j ) )
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = ( D ` j ) )
142	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) e. RR )
143	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> z e. RR )
144	101	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> S e. RR )
145		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) <_ z )
146	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> U C_ RR )
147	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> U =/= (/) )
148	2, 3	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
149		iccsupr 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ U C_ ( A [,] B ) /\ A e. U ) -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
150	148, 7, 45, 149	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
151	150	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x )
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x )
153	128, 126	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z e. U )
154		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ z e. U ) -> z <_ sup ( U , RR , < ) )
155	146, 147, 152, 153, 154	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z <_ sup ( U , RR , < ) )
156	155, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z <_ S )
157	156	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> z <_ S )
158	142, 143, 144, 145, 157	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) <_ S )
159	158	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) )
160	139, 141, 159	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) )
161	138, 160	eqled 10140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) )
162	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> z e. RR )
163	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) e. RR )
164		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> -. ( D ` j ) <_ z )
165	162, 163	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> ( z < ( D ` j ) <-> -. ( D ` j ) <_ z ) )
166	164, 165	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> z < ( D ` j ) )
167	162, 163, 166	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> z <_ ( D ` j ) )
168	167	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> z <_ ( D ` j ) )
169		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. ( D ` j ) <_ z -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = z )
170	169	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = z )
171		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D ` j ) <_ S -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) )
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) )
173	170, 172	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <-> z <_ ( D ` j ) ) )
174	168, 173	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) )
175	156	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> z <_ S )
176	169	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = z )
177		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. ( D ` j ) <_ S -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = S )
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = S )
179	176, 178	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <-> z <_ S ) )
180	175, 179	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) )
181	174, 180	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) )
182	161, 181	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) )
183		icossico 12243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) )
184	79, 137, 82, 182, 183	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) )
185		volss 23301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) )
186	64, 136, 184, 185	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) )
187	55, 56, 65, 135, 186	sge0lempt 40627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) )
188	98, 134, 99, 187	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) + A ) <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) )
189	54, 100, 125, 133, 188	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) )
190	189	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. U -> z <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) )
191	51, 190	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. U z <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) )
192		suprleub 10989	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) e. RR ) -> ( sup ( U , RR , < ) <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) <-> A. z e. U z <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) )
193	53, 47, 151, 124, 192	syl31anc 1329	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sup ( U , RR , < ) <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) <-> A. z e. U z <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) )
194	191, 193	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( U , RR , < ) <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) )
195	50, 194	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> S <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) )
196	101, 2, 123	lesubaddd 10624	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) <-> S <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) )
197	195, 196	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) )
198	49, 197	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( S e. ( A [,] B ) /\ ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
199		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( z = S -> ( z - A ) = ( S - A ) )
200		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = S -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ S ) )
201		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = S -> z = S )
202	200, 201	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . 10 |- ( z = S -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) )
203	202	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( z = S -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) )
204	203	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( z = S -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) )
205	204	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( z = S -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) )
206	205	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( z = S -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) )
207	199, 206	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( z = S -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
208	207	elrab 3363	. . . 4 |- ( S e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( S e. ( A [,] B ) /\ ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
209	198, 208	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> S e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
210	209, 4	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ph -> S e. U )
211	210, 45, 151	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( S e. U /\ A e. U /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem3  40807