mbfi1fseqlem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem mbfi1fseqlem6 23487

Description: Lemma for mbfi1fseq 23488. Verify that

converges pointwise to

, and wrap up the existence quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mbfi1fseq.1	MblFn
mbfi1fseq.2
mbfi1fseq.3
mbfi1fseq.4

**Assertion**
Ref	Expression
mbfi1fseqlem6	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem6 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfi1fseq.1	. . 3 MblFn
2		mbfi1fseq.2	. . 3
3		mbfi1fseq.3	. . 3
4		mbfi1fseq.4	. . 3
5	1, 2, 3, 4	mbfi1fseqlem4 23485	. 2
6	1, 2, 3, 4	mbfi1fseqlem5 23486	. . 3 $/\$ $/\$
7	6	ralrimiva 2966	. 2 $/\$
8		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
9	8	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$
10	9	abscld 14175	. . . . . 6 $/\$
11	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 $/\$
12		elrege0 12278	. . . . . . . 8 $/\$
13	11, 12	sylib 208	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
14	13	simpld 475	. . . . . 6 $/\$
15	10, 14	readdcld 10069	. . . . 5 $/\$
16		arch 11289	. . . . 5
17	15, 16	syl 17	. . . 4 $/\$
18		eqid 2622	. . . . 5
19		nnz 11399	. . . . . 6
20	19	ad2antrl 764	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
21		nnuz 11723	. . . . . . . 8
22		1zzd 11408	. . . . . . . 8 $/\$
23		halfcn 11247	. . . . . . . . . 10
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
25		halfre 11246	. . . . . . . . . . . 12
26		0re 10040	. . . . . . . . . . . . 13
27		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . . . 13
28	26, 25, 27	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . 12
29		absid 14036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
30	25, 28, 29	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11
31		halflt1 11250	. . . . . . . . . . 11
32	30, 31	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . 10
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
34	24, 33	expcnv 14596	. . . . . . . 8 $/\$
35	14	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
36		nnex 11026	. . . . . . . . . 10
37	36	mptex 6486	. . . . . . . . 9
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
39		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . 11
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
41		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
43		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11
44	41, 42, 43	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10
45	40, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
46		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	23, 40, 46	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
48	45, 47	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
49	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
51		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11
52	49, 50, 51	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10
53	52	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
54	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	53, 54	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	21, 22, 34, 35, 38, 48, 55	climsubc2 14369	. . . . . . 7 $/\$
57	35	subid1d 10381	. . . . . . 7 $/\$
58	56, 57	breqtrd 4679	. . . . . 6 $/\$
59	58	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
60	36	mptex 6486	. . . . . 6
61	60	a1i 11	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
62		simprl 794	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
63		eluznn 11758	. . . . . . . 8 $/\$
64	62, 63	sylan 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 52	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	14	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	64, 39	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		reexpcl 12877	. . . . . . . 8 $/\$
69	25, 67, 68	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	66, 69	resubcld 10458	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	65, 70	eqeltrd 2701	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
73	72	fveq1d 6193	. . . . . . . 8
74		eqid 2622	. . . . . . . 8
75		fvex 6201	. . . . . . . 8
76	73, 74, 75	fvmpt 6282	. . . . . . 7
77	64, 76	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	78, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		i1ff 23443	. . . . . . . 8
81	79, 80	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	8	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	81, 82	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	77, 83	eqeltrd 2701	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . 14
87		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
88	86, 67, 87	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	88	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	85, 90, 91	divcan4d 10807	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	92	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		2ne0 11113	. . . . . . . . . . 11
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 96, 98	exprecd 13016	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	93, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	66, 89	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	102, 103, 90, 91	divsubdird 10840	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	100, 104	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106		fllep1 12602	. . . . . . . . . 10
107	101, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		1red 10055	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		reflcl 12597	. . . . . . . . . . 11
110	101, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	101, 108, 110	lesubaddd 10624	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	107, 111	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		peano2rem 10348	. . . . . . . . . 10
114	101, 113	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	88	nngt0d 11064	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116		lediv1 10888	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	114, 110, 89, 115, 116	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	112, 117	mpbid 222	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	105, 118	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	1, 2, 3, 4	mbfi1fseqlem2 23483	. . . . . . . . . 10
121	64, 120	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11
124		vex 3203	. . . . . . . . . . 11
125	123, 124	ifex 4156	. . . . . . . . . 10
126		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10
127	125, 126	ifex 4156	. . . . . . . . 9
128		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
129	128	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 $/\$
130	82, 127, 129	sylancl 694	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	77, 122, 130	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	64	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135, 12	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	132, 66	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	137, 138	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	140	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	133, 141, 142	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . 14
145	144	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	133, 141, 134, 143, 145	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	132, 133, 134, 139, 146	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	82, 134	absled 14169	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	147, 148	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	149	simpld 475	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	149	simprd 479	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	134	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153		elicc2 12238	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
154	152, 134, 153	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	82, 150, 151, 154	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	iftrued 4094	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
158	157	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
161	158, 160	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
162	161	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
163	162, 160	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
164		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12
165	163, 3, 164	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . 11 $/\$
166	64, 82, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	110, 88	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		flle 12600	. . . . . . . . . . . . 13
169	101, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		ledivmul2 10902	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
171	110, 66, 89, 115, 170	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	169, 171	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	173	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	66, 132	addge02d 10616	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	174, 175	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	66, 133, 134, 176, 146	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	167, 66, 134, 172, 177	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	166, 178	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	179	iftrued 4094	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	180, 166	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182	131, 156, 181	3eqtrd 2660	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	119, 65, 182	3brtr4d 4685	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	182, 172	eqbrtrd 4675	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	18, 20, 59, 61, 71, 84, 183, 184	climsqz 14371	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
186	17, 185	rexlimddv 3035	. . 3 $/\$
187	186	ralrimiva 2966	. 2
188	36	mptex 6486	. . . 4
189	4, 188	eqeltri 2697	. . 3
190		feq1 6026	. . . 4
191		fveq1 6190	. . . . . . 7
192	191	breq2d 4665	. . . . . 6
193		fveq1 6190	. . . . . . 7
194	191, 193	breq12d 4666	. . . . . 6
195	192, 194	anbi12d 747	. . . . 5 $/\$ $/\$
196	195	ralbidv 2986	. . . 4 $/\$ $/\$
197	191	fveq1d 6193	. . . . . . 7
198	197	mpteq2dv 4745	. . . . . 6
199	198	breq1d 4663	. . . . 5
200	199	ralbidv 2986	. . . 4
201	190, 196, 200	3anbi123d 1399	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202	189, 201	spcev 3300	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
203	5, 7, 187, 202	syl3anc 1326	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

cofr 6896

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cico 12177

cicc 12178

cfl 12591

cexp 12860

cabs 13974

cli 14215 MblFncmbf 23383

citg1 23384

c0p 23436

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-0p 23437

This theorem is referenced by: mbfi1fseq 23488

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