ftc1anclem7 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem ftc1anclem7 33491

Description: Lemma for ftc1anc 33493. (Contributed by Brendan Leahy, 13-May-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ftc1anc.g
ftc1anc.a
ftc1anc.b
ftc1anc.le
ftc1anc.s
ftc1anc.d
ftc1anc.i
ftc1anc.f

**Assertion**
Ref	Expression
ftc1anclem7	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

**Proof of Theorem ftc1anclem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 23443	. . . . . . . . . . 11
2	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 $/\$
3	2	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
4		ax-icn 9995	. . . . . . . . . 10
5		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . 12
6	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 $/\$
7	6	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
8		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 $/\$
9	4, 7, 8	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$
10		addcl 10018	. . . . . . . . 9 $/\$
11	3, 9, 10	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	anandirs 874	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
13		reex 10027	. . . . . . . . 9
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
15	2	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
16		ovexd 6680	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
17	1	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
19	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10
20	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
21		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10
23	5	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10
24	19, 20, 6, 22, 23	offval2 6914	. . . . . . . . 9
25	24	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
26	14, 15, 16, 18, 25	offval2 6914	. . . . . . 7 $/\$
27		absf 14077	. . . . . . . . 9
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
29	28	feqmptd 6249	. . . . . . 7 $/\$
30		fveq2 6191	. . . . . . 7
31	12, 26, 29, 30	fmptco 6396	. . . . . 6 $/\$
32		ftc1anclem3 33487	. . . . . 6 $/\$
33	31, 32	eqeltrrd 2702	. . . . 5 $/\$
34		ioombl 23333	. . . . 5
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
38	35, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
40		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
41		fvex 6201	. . . . . . . . . 10
42	39, 40, 41	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9
43	42	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
44	43	ifeq1d 4104	. . . . . . 7
45	44	mpteq2ia 4740	. . . . . 6
46	45	i1fres 23472	. . . . 5 $/\$
47	33, 34, 46	sylancl 694	. . . 4 $/\$
48		breq2 4657	. . . . . . 7
49		breq2 4657	. . . . . . 7
50		elioore 12205	. . . . . . . 8
51		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12
52	51	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	38	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54, 12	chvarv 2263	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	55	absge0d 14183	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
57	50, 56	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
58		0le0 11110	. . . . . . . 8
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
60	48, 49, 57, 59	ifbothda 4123	. . . . . 6 $/\$
61	60	ralrimivw 2967	. . . . 5 $/\$
62		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
64		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10
65	41, 64	ifex 4156	. . . . . . . . 9
66		eqid 2622	. . . . . . . . 9
67	65, 66	fnmpti 6022	. . . . . . . 8
68	67	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
69	63, 68	0pledm 23440	. . . . . 6 $/\$
70	64	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
71	65	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
72		fconstmpt 5163	. . . . . . . 8
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
74		eqidd 2623	. . . . . . 7 $/\$
75	14, 70, 71, 73, 74	ofrfval2 6915	. . . . . 6 $/\$
76	69, 75	bitrd 268	. . . . 5 $/\$
77	61, 76	mpbird 247	. . . 4 $/\$
78		itg2itg1 23503	. . . . 5 $/\$
79		itg1cl 23452	. . . . . 6
80	79	adantr 481	. . . . 5 $/\$
81	78, 80	eqeltrd 2701	. . . 4 $/\$
82	47, 77, 81	syl2anc 693	. . 3 $/\$
83	82	ad6antlr 773	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		simplll 798	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		ftc1anc.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86	85	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87		ftc1anc.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
88	87	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89	86, 88	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
90		df-icc 12182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
91	90	elixx3g 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	91	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
93	92	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94	90	elixx3g 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
96	95	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97	93, 96	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
98		ioossioo 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
99	89, 97, 98	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
100		ftc1anc.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
102	99, 101	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
103	102	3adantr3 1222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
104	103	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		ftc1anc.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
107	106	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	104, 107	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	adantllr 755	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	55	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
111	50, 110	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
112	111	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	109, 112	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	113	absge0d 14183	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117		elxrge0 12281	. . . . . . . . 9 $/\$
118	115, 116, 117	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . 9
120	119	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	118, 120	ifclda 4120	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123		eqid 2622	. . . . . 6
124	122, 123	fmptd 6385	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	84, 124	sylan 488	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126		rpre 11839	. . . . . 6
127	126	rehalfcld 11279	. . . . 5
128	127	ad2antlr 763	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		simpll 790	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	102	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	106	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
133		ftc1anc.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
134	133	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
135	134	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
136	135, 110	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
137	132, 136	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
138	137	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
139	138	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	131, 140	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	137	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
143	142	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	131, 143	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	141, 144, 117	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	145, 146	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148, 123	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150		itg2cl 23499	. . . . . . . . . 10
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	129, 151	sylan 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	106, 153	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . 16
155		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
156	154, 55, 155	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
157	156	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
158	157	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
159	158	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
160	157	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
161		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
162	159, 160, 161	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
163		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
164	162, 163	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
165		itg2cl 23499	. . . . . . . . . 10
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
167	166	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . 10
169	168	rpxrd 11873	. . . . . . . . 9
170	169	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	164	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13
173		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13
174	138	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
175		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
176	175	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
177	176	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
179	174, 178	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
180	179	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	131, 180	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182	181	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	160	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	183	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	172, 173, 182, 184	ifbothda 4123	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	185	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
188		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15
189	188, 64	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14
190	189	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
191		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
192		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13
193		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13
194	187, 190, 191, 192, 193	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . 12
195	194	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	186, 195	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197		itg2le 23506	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
198	149, 171, 196, 197	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	129, 198	sylan 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200		simpllr 799	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	152, 167, 170, 199, 200	xrlelttrd 11991	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		xrltle 11982	. . . . . . . 8 $/\$
203	152, 170, 202	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	201, 203	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	204	adantllr 755	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	205	3adantr3 1222	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207		itg2lecl 23505	. . . 4 $/\$ $/\$
208	125, 128, 206, 207	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
209	208	adantr 481	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
210	127	ad3antlr 767	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
211	82	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
212		2rp 11837	. . . . . . . . 9
213		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . 16
214		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
215	27, 214	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
216	213, 215	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15
217	216	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
218		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
219	1, 218	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
220	219	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
221		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
222	5, 221	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
223	222	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
224	220, 223	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
225	224, 62	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
226		i1f0rn 23449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
227		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
228	226, 227	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
229	228	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
230		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
231	27, 230	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
232		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
233	231, 232	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
234	225, 229, 233	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
235		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15
236	234, 235	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
237		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
238	27, 237	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
239		i1frn 23444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
240		i1frn 23444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
241		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
242	239, 240, 241	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
243		imafi 8259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
244	238, 242, 243	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
245		fimaxre2 10969	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
246	216, 244, 245	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
247		suprcl 10983	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
248	217, 236, 246, 247	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
249	248	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
250		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
251	225	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
252	251	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
253	252	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
254		absgt0 14064	. . . . . . . . . . . . . . . 16
255	251, 254	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
256	255	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
257	256	anasss 679	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
258	217, 236, 246	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
259	258	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
260		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
261	231, 260	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
262	225, 261	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
263		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
264	259, 262, 263	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
265	264	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
266	250, 253, 249, 257, 265	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
267	249, 266	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
268	267	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . 10 $/\$
269	268	imp 445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
270		rpmulcl 11855	. . . . . . . . 9 $/\$
271	212, 269, 270	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
272	211, 271	rerpdivcld 11903	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
273	272	adantll 750	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
274	273	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
275	274	ad3antrrr 766	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
276		simp-4l 806	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
277		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
278	85, 87, 277	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
279	278, 62	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11
280	279	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 $/\$
281	279	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 $/\$
282		subcl 10280	. . . . . . . . . 10 $/\$
283	280, 281, 282	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
284	283	anandis 873	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
285	284	abscld 14175	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
286	285	3adantr3 1222	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
287	276, 286	sylan 488	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
288	287	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
289		rpdivcl 11856	. . . . . . . . 9 $/\$
290	168, 271, 289	syl2anr 495	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
291	290	rpred 11872	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
292	291	adantlll 754	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
293	292	adantllr 755	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
294	293	ad2antrr 762	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
295	278	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11
296	278	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11
297		idd 24	. . . . . . . . . . 11
298	295, 296, 297	3anim123d 1406	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
299	298	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
300	299	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
301	55	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
302	301	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
303		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
304	302, 56, 303	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
305		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
306	304, 119, 305	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
307	306, 66	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
308	248	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
309	308	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
310	248, 248	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
311	310	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
312		abs0 14025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
313	312, 234	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
314		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
315	258, 313, 314	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
316	248, 248, 315, 315	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
317		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
318	311, 316, 317	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
319	309, 318	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
320		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
321	319, 119, 320	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
322	321	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
323		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
324	322, 323	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
325	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
326	325	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
327	326	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
328	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
329	328	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
330	329	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
331		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
332	327, 330, 331	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
333	332	anandirs 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
334	310	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
335		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
336	4, 329, 335	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
337		abstri 14070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
338	326, 336, 337	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
339	338	anandirs 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
340		absmul 14034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
341	4, 329, 340	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
342		absi 14026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
343	342	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
344	341, 343	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
345	330	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
346	345	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
347	344, 346	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
348	347	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
349	348	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
350	339, 349	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
351	327	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
352	330	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
353	248	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
354	258	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
355	225	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
356		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
357	1, 356	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
358		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
359	357, 358	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
360		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
361	359, 360	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
362	361	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
363		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
364	231, 363	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
365	355, 362, 364	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
366		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
367	354, 365, 366	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
368		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
369	5, 368	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
370		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
371	369, 370	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
372		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
373	371, 372	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
374	373	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
375		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
376	231, 375	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
377	355, 374, 376	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
378		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
379	354, 377, 378	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
380	351, 352, 353, 353, 367, 379	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
381	301, 333, 334, 350, 380	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
382	309	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
383	381, 382	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
384	50, 383	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
385		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
386	385	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
387		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
388	387	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
389	384, 386, 388	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
390	389	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
391	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
392		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
393		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
394	391, 392, 393	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
395	390, 394	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
396	395	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
397		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
398	397, 64	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
399	398	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
400		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
401	14, 71, 399, 74, 400	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
402	396, 401	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
403		itg2le 23506	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
404	307, 324, 402, 403	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
405	404	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
406		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
407	34, 406	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
408		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
409	407, 408	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
410		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
411	410	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
412	411	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
413	409, 412	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
414		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
415	248, 315, 414	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
416		ge0addcl 12284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
417	415, 415, 416	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
418	309, 417	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
419		itg2const 23507	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
420	34, 419	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
421	413, 418, 420	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
422	405, 421	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
423	422	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
424	423	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
425	82	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
426	413	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
427	271	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
428	427	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
429	425, 426, 428	ledivmuld 11925	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
430	424, 429	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
431		abssubge0 14067	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
432	408, 431	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
433	407, 432	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
434	433	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
435	430, 434	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
436	300, 435	syldan 487	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
437	436	adantllr 755	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
438	437	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
439	438	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
440		simpr 477	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
441	275, 288, 294, 439, 440	lelttrd 10195	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
442	82	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$
443	442	ad3antrrr 766	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
444	127	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
445	427	adantlr 751	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
446	445	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
447	443, 444, 446	ltdiv1d 11917	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
448	447	ad2antrr 762	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
449	441, 448	mpbird 247	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
450	201	adantllr 755	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
451	450	3adantr3 1222	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
452	451	adantr 481	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
453	83, 209, 210, 210, 449, 452	lt2addd 10650	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cun 3572

wss 3574

c0 3915

cif 4086

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

cima 5117

ccom 5118

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

cofr 6896

cfn 7955

csup 8346

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

c2 11070

crp 11832

cioo 12175

cico 12177

cicc 12178

cabs 13974

covol 23231

cvol 23232

citg1 23384

citg2 23385

cibl 23386

citg 23387

c0p 23436

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-0p 23437

This theorem is referenced by: ftc1anclem8 33492

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