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Theorem itg2seq 23509

Description: Definitional property of the

integral: for any function

there is a countable sequence

of simple functions less than

whose integrals converge to the integral of

. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 23522, but unlike that theorem this one doesn't require

to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
itg2seq	$/\$ $/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem itg2seq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12
2	1	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
3		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . 11
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
5		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
7		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	4, 6, 7	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
9		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
11		itg2cl 23499	. . . . . . . . . . . . . . 15
12		xrrebnd 11999	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
14		itg2ge0 23502	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15		mnflt0 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
19	16, 17, 18	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
21	15, 20	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	14, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24		nltpnft 11995	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	11, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	con2bid 344	. . . . . . . . . . . . . 14
27	13, 23, 26	3bitr2rd 297	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
29	28	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
30		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . 13
31	30	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . 12
32	31	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
33	29, 32	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
34	10, 33	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
35	8, 34	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 $/\$
36		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
38	29, 37	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
39	2, 38	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	39	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 $/\$
41	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
42		xrltnle 10105	. . . . . . . . 9 $/\$
43	40, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$
44	35, 43	mpbid 222	. . . . . . 7 $/\$
45		itg2leub 23501	. . . . . . . 8 $/\$
46	40, 45	syldan 487	. . . . . . 7 $/\$
47	44, 46	mtbid 314	. . . . . 6 $/\$
48		rexanali 2998	. . . . . 6 $/\$
49	47, 48	sylibr 224	. . . . 5 $/\$ $/\$
50		itg1cl 23452	. . . . . . . 8
51		ltnle 10117	. . . . . . . 8 $/\$
52	39, 50, 51	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
53	52	anbi2d 740	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	rexbidva 3049	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
55	49, 54	mpbird 247	. . . 4 $/\$ $/\$
56	55	ralrimiva 2966	. . 3 $/\$
57		ovex 6678	. . . . 5
58		i1ff 23443	. . . . . . 7
59		reex 10027	. . . . . . . 8
60	59, 59	elmap 7886	. . . . . . 7
61	58, 60	sylibr 224	. . . . . 6
62	61	ssriv 3607	. . . . 5
63	57, 62	ssexi 4803	. . . 4
64		nnenom 12779	. . . 4
65		breq1 4656	. . . . 5
66		fveq2 6191	. . . . . 6
67	66	breq2d 4665	. . . . 5
68	65, 67	anbi12d 747	. . . 4 $/\$ $/\$
69	63, 64, 68	axcc4 9261	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	56, 69	syl 17	. 2 $/\$ $/\$
71		simprl 794	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpl 473	. . . . . . 7 $/\$
73	72	ralimi 2952	. . . . . 6 $/\$
74	73	ad2antll 765	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
77	76	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11
78	77	rneqi 5352	. . . . . . . . . 10
79	78	supeq1i 8353	. . . . . . . . 9
80		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81		itg1cl 23452	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
83		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14
84	82, 83	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13
85	84	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86		frn 6053	. . . . . . . . . . . 12
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88		ressxr 10083	. . . . . . . . . . 11
89	87, 88	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
90		supxrcl 12145	. . . . . . . . . 10
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
92	79, 91	syl5eqelr 2706	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
93		elxr 11950	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$
94		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
95		arch 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
97	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
99	98	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
100	96, 99	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
101	28	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
103	101, 102	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
105	102, 101	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
106	104, 105	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
107		nnrecl 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
108	103, 106, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
109	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		ltsub13 10509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
113	109, 110, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	9	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	113, 115	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	108, 117	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	100, 118	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
120	119	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . 15
122		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
123	121, 11, 122	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
124	121	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
125	40	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
126		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
127	124, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
128	127	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
129		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	128, 129	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
131	120, 123, 130	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
132	131	con4d 114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
133	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
134		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . 15
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
136		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
137	135, 136	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
138	137	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . 15
140	139	ne0ii 3923	. . . . . . . . . . . . . 14
141		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
142	140, 141	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13
143	39	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
144		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
147	16, 145, 146	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148	144, 147	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
149	143, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
150		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
151	150	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
152	149, 151	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
153	152	nrexdv 3001	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
154	153	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
155	142, 154	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
156	132, 138, 155	3jaodan 1394	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
157	93, 156	sylan2b 492	. . . . . . . . . 10 $/\$
158	157	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9
159	158	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
160	40	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
161	82	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
162	161	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
163		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
164	160, 162, 163	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
165	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
166	165, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
167	166, 88	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
168	167	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
169	78, 168	syl5eqssr 3650	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
171	170	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
172		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
173		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
174	171, 172, 173	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16
175		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176	175, 172	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
177		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
178	176, 177	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16
179	174, 178	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15
180	179	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
181		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
182	169, 180, 181	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
183	168, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
184	79, 183	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
185		xrletr 11989	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
186	160, 162, 184, 185	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
187	182, 186	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
188	164, 187	syld 47	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
189	188	adantld 483	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
190	189	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
191	190	impr 649	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
192		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
193	192	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10
194		breq2 4657	. . . . . . . . . 10
195	193, 194	imbi12d 334	. . . . . . . . 9
196	195	rspcv 3305	. . . . . . . 8
197	92, 159, 191, 196	syl3c 66	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
198	197, 79	syl6breqr 4695	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
199		itg2ub 23500	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
200	199	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
201	80, 200	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
202	201	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
203	202	adantrd 484	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
204	203	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
205	204	impr 649	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
206	76, 83, 175	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12
207	206	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11
208	207	ralbiia 2979	. . . . . . . . . 10
209	76	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11
210	209	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10
211	208, 210	bitr4i 267	. . . . . . . . 9
212	205, 211	sylibr 224	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
213		ffn 6045	. . . . . . . . 9
214		breq1 4656	. . . . . . . . . 10
215	214	ralrn 6362	. . . . . . . . 9
216	85, 213, 215	3syl 18	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
217	212, 216	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
218	11	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
219		supxrleub 12156	. . . . . . . 8 $/\$
220	89, 218, 219	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
221	217, 220	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
222	11	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
223	167, 90	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
224		xrletri3 11985	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
225	222, 223, 224	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
226	225	adantrr 753	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
227	198, 221, 226	mpbir2and 957	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
228	71, 74, 227	3jca 1242	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	ex 450	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	229	eximdv 1846	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	70, 230	mpd 15	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

wss 3574

c0 3915

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

crn 5115

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cofr 6896

cmap 7857

csup 8346

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

crp 11832

cicc 12178

citg1 23384

citg2 23385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-xmet 19739 df-met 19740 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390

This theorem is referenced by: (None)

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