Theorem itgmulc2nc 33478

Description: Choice-free analogue of itgmulc2 23600. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmulc2nc.1	|- ( ph -> C e. CC )
itgmulc2nc.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgmulc2nc.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgmulc2nc.m	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
itgmulc2nc	|- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x   x, V

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nc

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2nc.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
2	1	recld 13934	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` C ) e. RR )
3	2	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` C ) e. CC )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` C ) e. CC )
5		itgmulc2nc.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
6		iblmbf 23534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
8		itgmulc2nc.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
9	7, 8	mbfmptcl 23404	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
10	9	recld 13934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR )
11	10	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC )
12	4, 11	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
13	9	iblcn 23565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) )
14	5, 13	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) )
15	14	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 )
16		itgmulc2nc.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
17		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) e. _V )
18	16, 17	mbfdm2 23405	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. dom vol )
19		fconstmpt 5163	. . . . . . . . 9 |- ( A X. { ( Re ` C ) } ) = ( x e. A |-> ( Re ` C ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A X. { ( Re ` C ) } ) = ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) )
21		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) = ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) )
22	18, 4, 10, 20, 21	offval2 6914	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { ( Re ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) )
23		iblmbf 23534	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. MblFn )
24	15, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. MblFn )
25		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) = ( x e. A |-> ( Re ` B ) )
26	11, 25	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) : A --> CC )
27	24, 2, 26	mbfmulc2re 23415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { ( Re ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) ) e. MblFn )
28	22, 27	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) e. MblFn )
29	3, 10, 15, 28	iblmulc2nc 33475	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) e. L^1 )
30	12, 29	itgcl 23550	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x e. CC )
31		ax-icn 9995	. . . . 5 |- _i e. CC
32	9	imcld 13935	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC )
34	4, 33	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
35	14	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 )
36		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) = ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) )
37	18, 4, 32, 20, 36	offval2 6914	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { ( Re ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) )
38		iblmbf 23534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. MblFn )
39	35, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. MblFn )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) = ( x e. A |-> ( Im ` B ) )
41	33, 40	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) : A --> CC )
42	39, 2, 41	mbfmulc2re 23415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { ( Re ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) ) e. MblFn )
43	37, 42	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) e. MblFn )
44	3, 32, 35, 43	iblmulc2nc 33475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) e. L^1 )
45	34, 44	itgcl 23550	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x e. CC )
46		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x e. CC ) -> ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) e. CC )
47	31, 45, 46	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) e. CC )
48	1	imcld 13935	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Im ` C ) e. RR )
49	48	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` C ) e. CC )
50	49	negcld 10379	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( Im ` C ) e. CC )
51	50	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` C ) e. CC )
52	51, 33	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
53		fconstmpt 5163	. . . . . . . . 9 |- ( A X. { -u ( Im ` C ) } ) = ( x e. A |-> -u ( Im ` C ) )
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A X. { -u ( Im ` C ) } ) = ( x e. A |-> -u ( Im ` C ) ) )
55	18, 51, 32, 54, 36	offval2 6914	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { -u ( Im ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) )
56	48	renegcld 10457	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( Im ` C ) e. RR )
57	39, 56, 41	mbfmulc2re 23415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { -u ( Im ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) ) e. MblFn )
58	55, 57	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) e. MblFn )
59	50, 32, 35, 58	iblmulc2nc 33475	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) e. L^1 )
60	52, 59	itgcl 23550	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x e. CC )
61	49	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` C ) e. CC )
62	61, 11	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
63		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 |- ( A X. { ( Im ` C ) } ) = ( x e. A |-> ( Im ` C ) )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A X. { ( Im ` C ) } ) = ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) )
65	18, 61, 10, 64, 21	offval2 6914	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { ( Im ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) )
66	24, 48, 26	mbfmulc2re 23415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { ( Im ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) ) e. MblFn )
67	65, 66	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) e. MblFn )
68	49, 10, 15, 67	iblmulc2nc 33475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) e. L^1 )
69	62, 68	itgcl 23550	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x e. CC )
70		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x e. CC ) -> ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) e. CC )
71	31, 69, 70	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) e. CC )
72	30, 47, 60, 71	add4d 10264	. . 3 |- ( ph -> ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) + ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) = ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) )
73	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> _i e. CC )
74	73, 49	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ph -> ( _i x. ( Im ` C ) ) e. CC )
75	8, 5	itgcl 23550	. . . . 5 |- ( ph -> S. A B _d x e. CC )
76	3, 74, 75	adddird 10065	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( ( Re ` C ) x. S. A B _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A B _d x ) ) )
77	8, 5	itgcnval 23566	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. S. A B _d x ) = ( ( Re ` C ) x. ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) )
79	10, 15	itgcl 23550	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A ( Re ` B ) _d x e. CC )
80	32, 35	itgcl 23550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. A ( Im ` B ) _d x e. CC )
81		mulcl 10020	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ S. A ( Im ` B ) _d x e. CC ) -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC )
82	31, 80, 81	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC )
83	3, 79, 82	adddid 10064	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( ( ( Re ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( Re ` C ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) )
84	3, 10, 15, 28, 2, 10	itgmulc2nclem2 33477	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) = S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x )
85	3, 73, 80	mul12d 10245	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( _i x. ( ( Re ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) )
86	3, 32, 35, 43, 2, 32	itgmulc2nclem2 33477	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( _i x. ( ( Re ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
88	85, 87	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
89	84, 88	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( Re ` C ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) )
90	78, 83, 89	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) )
91	77	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) )
92	74, 79, 82	adddid 10064	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) )
93	73, 49, 79	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) = ( _i x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) ) )
94	49, 10, 15, 67, 48, 10	itgmulc2nclem2 33477	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Im ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) = S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x )
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( _i x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) ) = ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) )
96	93, 95	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) = ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) )
97	73, 49, 73, 80	mul4d 10248	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) )
98		ixi 10656	. . . . . . . . . . 11 |- ( _i x. _i ) = -u 1
99	98	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( -u 1 x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) )
100	49, 80	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC )
101	100	mulm1d 10482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u 1 x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = -u ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) )
102	99, 101	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = -u ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) )
103	49, 80	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = -u ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) )
104	50, 32, 35, 58, 56, 32	itgmulc2nclem2 33477	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
105	103, 104	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
106	97, 102, 105	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
107	96, 106	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
108	71, 60	addcomd 10238	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) = ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
109	107, 108	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
110	91, 92, 109	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
111	90, 110	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) x. S. A B _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A B _d x ) ) = ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) + ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) )
112	76, 111	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) + ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) )
113	61, 33	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
114	18, 61, 32, 64, 36	offval2 6914	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { ( Im ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) )
115	39, 48, 41	mbfmulc2re 23415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { ( Im ` C ) } ) oF x. ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) ) e. MblFn )
116	114, 115	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) e. MblFn )
117	49, 32, 35, 116	iblmulc2nc 33475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) e. L^1 )
118	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
119	118, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) e. CC )
120		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) = ( x e. A |-> ( C x. B ) ) )
121		ref 13852	. . . . . . . . . . 11 |- Re : CC --> RR
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Re : CC --> RR )
123	122	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Re = ( k e. CC |-> ( Re ` k ) ) )
124		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( C x. B ) -> ( Re ` k ) = ( Re ` ( C x. B ) ) )
125	119, 120, 123, 124	fmptco 6396	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) = ( x e. A |-> ( Re ` ( C x. B ) ) ) )
126	118, 9	remuld 13958	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( C x. B ) ) = ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) )
127	126	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` ( C x. B ) ) ) = ( x e. A |-> ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) ) )
128	125, 127	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) = ( x e. A |-> ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) ) )
129		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> ( C x. B ) ) = ( x e. A |-> ( C x. B ) )
130	119, 129	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC )
131		ismbfcn 23398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC -> ( ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) e. MblFn ) ) )
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) e. MblFn ) ) )
133	16, 132	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Re o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) e. MblFn ) )
134	133	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) e. MblFn )
135	128, 134	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) ) e. MblFn )
136	12, 29, 113, 117, 135	itgsubnc 33472	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) _d x = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x - S. A ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
137	126	itgeq2dv 23548	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x = S. A ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) _d x )
138	113, 117	itgneg 23570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u S. A ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x = S. A -u ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
139	61, 33	mulneg1d 10483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) = -u ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) )
140	139	itgeq2dv 23548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x = S. A -u ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
141	138, 140	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u S. A ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x = S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
142	141	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + -u S. A ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
143	113, 117	itgcl 23550	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x e. CC )
144	30, 143	negsubd 10398	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + -u S. A ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x - S. A ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
145	142, 144	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ph -> ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x - S. A ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
146	136, 137, 145	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
147	118, 9	immuld 13959	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` ( C x. B ) ) = ( ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) )
148	147	itgeq2dv 23548	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x = S. A ( ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) _d x )
149		imf 13853	. . . . . . . . . . . . 13 |- Im : CC --> RR
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Im : CC --> RR )
151	150	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Im = ( k e. CC |-> ( Im ` k ) ) )
152		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( C x. B ) -> ( Im ` k ) = ( Im ` ( C x. B ) ) )
153	119, 120, 151, 152	fmptco 6396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) = ( x e. A |-> ( Im ` ( C x. B ) ) ) )
154	147	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` ( C x. B ) ) ) = ( x e. A |-> ( ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) ) )
155	153, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Im o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) = ( x e. A |-> ( ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) ) )
156	133	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Im o. ( x e. A |-> ( C x. B ) ) ) e. MblFn )
157	155, 156	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) ) e. MblFn )
158	34, 44, 62, 68, 157	itgaddnc 33470	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A ( ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) _d x = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) )
159	148, 158	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) )
160	159	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) = ( _i x. ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
161	73, 45, 69	adddid 10064	. . . . 5 |- ( ph -> ( _i x. ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) = ( ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
162	160, 161	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) = ( ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
163	146, 162	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) ) = ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) )
164	72, 112, 163	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) ) )
165	1	replimd 13937	. . 3 |- ( ph -> C = ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) )
166	165	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = ( ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) x. S. A B _d x ) )
167	1, 8, 5, 16	iblmulc2nc 33475	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. L^1 )
168	119, 167	itgcnval 23566	. 2 |- ( ph -> S. A ( C x. B ) _d x = ( S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) ) )
169	164, 166, 168	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   Recre 13837   Imcim 13838   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgabsnc  33479