Theorem itgmulc2 23600

Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmulc2.1	|- ( ph -> C e. CC )
itgmulc2.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgmulc2.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
itgmulc2	|- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x   x, V

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgmulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
2	1	recld 13934	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` C ) e. RR )
3	2	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` C ) e. CC )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` C ) e. CC )
5		itgmulc2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
6		iblmbf 23534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
8		itgmulc2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
9	7, 8	mbfmptcl 23404	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
10	9	recld 13934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR )
11	10	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC )
12	4, 11	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
13	9	iblcn 23565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) )
14	5, 13	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) )
15	14	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 )
16	3, 10, 15	iblmulc2 23597	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) e. L^1 )
17	12, 16	itgcl 23550	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x e. CC )
18		ax-icn 9995	. . . . 5 |- _i e. CC
19	9	imcld 13935	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR )
20	19	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC )
21	4, 20	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
22	14	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 )
23	3, 19, 22	iblmulc2 23597	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) e. L^1 )
24	21, 23	itgcl 23550	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x e. CC )
25		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x e. CC ) -> ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) e. CC )
26	18, 24, 25	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) e. CC )
27	1	imcld 13935	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Im ` C ) e. RR )
28	27	renegcld 10457	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( Im ` C ) e. RR )
29	28	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( Im ` C ) e. CC )
30	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` C ) e. CC )
31	30, 20	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
32	29, 19, 22	iblmulc2 23597	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) e. L^1 )
33	31, 32	itgcl 23550	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x e. CC )
34	27	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` C ) e. CC )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` C ) e. CC )
36	35, 11	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
37	34, 10, 15	iblmulc2 23597	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) e. L^1 )
38	36, 37	itgcl 23550	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x e. CC )
39		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x e. CC ) -> ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) e. CC )
40	18, 38, 39	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) e. CC )
41	17, 26, 33, 40	add4d 10264	. . 3 |- ( ph -> ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) + ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) = ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) )
42		mulcl 10020	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` C ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` C ) ) e. CC )
43	18, 34, 42	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( _i x. ( Im ` C ) ) e. CC )
44	8, 5	itgcl 23550	. . . . 5 |- ( ph -> S. A B _d x e. CC )
45	3, 43, 44	adddird 10065	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( ( Re ` C ) x. S. A B _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A B _d x ) ) )
46	8, 5	itgcnval 23566	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. S. A B _d x ) = ( ( Re ` C ) x. ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) )
48	10, 15	itgcl 23550	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A ( Re ` B ) _d x e. CC )
49	19, 22	itgcl 23550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. A ( Im ` B ) _d x e. CC )
50		mulcl 10020	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ S. A ( Im ` B ) _d x e. CC ) -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC )
51	18, 49, 50	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC )
52	3, 48, 51	adddid 10064	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( ( ( Re ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( Re ` C ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) )
53	3, 10, 15, 2, 10	itgmulc2lem2 23599	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) = S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x )
54	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> _i e. CC )
55	3, 54, 49	mul12d 10245	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( _i x. ( ( Re ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) )
56	3, 19, 22, 2, 19	itgmulc2lem2 23599	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
57	56	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( _i x. ( ( Re ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
58	55, 57	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
59	53, 58	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( Re ` C ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) )
60	47, 52, 59	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Re ` C ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) )
61	46	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) )
62	43, 48, 51	adddid 10064	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) )
63	54, 34, 48	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) = ( _i x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) ) )
64	34, 10, 15, 27, 10	itgmulc2lem2 23599	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Im ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) = S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( _i x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) ) = ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) )
66	63, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) = ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) )
67	54, 34, 54, 49	mul4d 10248	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) )
68		ixi 10656	. . . . . . . . . . 11 |- ( _i x. _i ) = -u 1
69	68	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( -u 1 x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) )
70	34, 49	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC )
71	70	mulm1d 10482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u 1 x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = -u ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) )
72	69, 71	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = -u ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) )
73	34, 49	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = -u ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) )
74	29, 19, 22, 28, 19	itgmulc2lem2 23599	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
75	73, 74	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( Im ` C ) x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
76	67, 72, 75	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x )
77	66, 76	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
78	40, 33	addcomd 10238	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) = ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
79	77, 78	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A ( Re ` B ) _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) = ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
80	61, 62, 79	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
81	60, 80	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) x. S. A B _d x ) + ( ( _i x. ( Im ` C ) ) x. S. A B _d x ) ) = ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) + ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) )
82	45, 81	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) ) + ( S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) )
83	35, 20	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
84	12, 83	negsubd 10398	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) + -u ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) )
85	35, 20	mulneg1d 10483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) = -u ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) + ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) + -u ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) )
87	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
88	87, 9	remuld 13958	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( C x. B ) ) = ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) )
89	84, 86, 88	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) + ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( Re ` ( C x. B ) ) )
90	89	itgeq2dv 23548	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) + ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) _d x = S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x )
91	12, 16, 31, 32	itgadd 23591	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) + ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) ) _d x = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
92	90, 91	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) )
93	87, 9	immuld 13959	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` ( C x. B ) ) = ( ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) )
94	93	itgeq2dv 23548	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x = S. A ( ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) _d x )
95	21, 23, 36, 37	itgadd 23591	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A ( ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) ) _d x = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) )
96	94, 95	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x = ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) = ( _i x. ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
98	54, 24, 38	adddid 10064	. . . . 5 |- ( ph -> ( _i x. ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x + S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) = ( ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
99	97, 98	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) = ( ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) )
100	92, 99	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) ) = ( ( S. A ( ( Re ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x + S. A ( -u ( Im ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( ( _i x. S. A ( ( Re ` C ) x. ( Im ` B ) ) _d x ) + ( _i x. S. A ( ( Im ` C ) x. ( Re ` B ) ) _d x ) ) ) )
101	41, 82, 100	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) ) )
102	1	replimd 13937	. . 3 |- ( ph -> C = ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) )
103	102	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = ( ( ( Re ` C ) + ( _i x. ( Im ` C ) ) ) x. S. A B _d x ) )
104	87, 9	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) e. CC )
105	1, 8, 5	iblmulc2 23597	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. L^1 )
106	104, 105	itgcnval 23566	. 2 |- ( ph -> S. A ( C x. B ) _d x = ( S. A ( Re ` ( C x. B ) ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` ( C x. B ) ) _d x ) ) )
107	101, 103, 106	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   Recre 13837   Imcim 13838  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgabs  23601  circlemeth  30718  itgpowd  37800  areaquad  37802  itgsinexplem1  40169  fourierdlem30  40354  fourierdlem83  40406  fourierdlem95  40418  sqwvfoura  40445