Theorem dchrvmasumlem1 25184

Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.a	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem1	|- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, .1.   m, d, n, A   m, N, n   ph, d, m, n   m, Z, n   D, m, n   L, d, m, n   X, d, m, n   A, n

Allowed substitution hints:   D( d)   .1. ( d)   G( m, n, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1

Dummy variables x i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( d x. m ) ) )
2	1	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) )
3		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) = ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) )
4		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( n = ( d x. m ) -> ( n / d ) = ( ( d x. m ) / d ) )
5	4	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( log ` ( n / d ) ) = ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) )
6	3, 5	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) )
7	2, 6	oveq12d 6668	. . 3 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
8		dchrvmasum.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR+ )
9	8	rpred 11872	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
10		rpvmasum.g	. . . . . 6 |- G = (DChr ` N )
11		rpvmasum.z	. . . . . 6 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
12		rpvmasum.d	. . . . . 6 |- D = ( Base ` G )
13		rpvmasum.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` Z )
14		dchrisum.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. D )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
16		elfzelz 12342	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. ZZ )
17	16	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. ZZ )
18	10, 11, 12, 13, 15, 17	dchrzrhcl 24970	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
19	18	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
20		elrabi 3359	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d e. NN )
21	20	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. NN )
22		mucl 24867	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
24	23	zred 11482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
25		elfznn 12370	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. NN )
27	24, 26	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. RR )
28	27	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. CC )
29	26	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. RR+ )
30	21	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. RR+ )
31	29, 30	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( n / d ) e. RR+ )
32	31	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
34	28, 33	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
35	19, 34	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) e. CC )
36	7, 9, 35	dvdsflsumcom 24914	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
37		vmaf 24845	. . . . . . . . . . . . 13 |- Λ : NN --> RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Λ : NN --> RR )
39		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
40		fss 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Λ : NN --> RR /\ RR C_ CC ) -> Λ : NN --> CC )
41	38, 39, 40	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Λ : NN --> CC )
42		vmasum 24941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
44	43	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( log ` m ) = sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) )
45	44	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) ) )
46	41, 45	muinv 24919	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Λ = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) )
47	46	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Λ ` n ) = ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) )
48		sumex 14418	. . . . . . . . . 10 |- sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
50	49	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
51	25, 48, 50	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
52	47, 51	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
53		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = d -> ( x || n <-> d || n ) )
54	53	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. { x e. NN | x || n } <-> ( d e. NN /\ d || n ) )
55	54	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d || n )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d || n )
57	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
58		nndivdvds 14989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ d e. NN ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
59	57, 20, 58	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
60	56, 59	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( n / d ) e. NN )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n / d ) -> ( log ` m ) = ( log ` ( n / d ) ) )
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> ( log ` m ) )
63		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( log ` ( n / d ) ) e. _V
64	61, 62, 63	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n / d ) e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
65	60, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
67	66	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
68	52, 67	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
70		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
71		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
72	57, 71	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
73		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
74	70, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
75	57	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. CC )
76	23	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
77	76	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
78	33	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
79	77, 78	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
80	57	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n =/= 0 )
81	74, 75, 79, 80	fsumdivc 14518	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
82	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d e. NN )
83	82, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
84	83	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
85	75	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n e. CC )
86	80	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n =/= 0 )
87	84, 78, 85, 86	div23d 10838	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
88	87	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
89	69, 81, 88	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
90	89	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
91	34	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
92	74, 18, 91	fsummulc2 14516	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
93	90, 92	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
94	93	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
95		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) e. Fin )
96	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
97		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> d e. ZZ )
98	97	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. ZZ )
99	10, 11, 12, 13, 96, 98	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
100		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
101	9, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
102	101	simprbda 653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. NN )
103	102, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
104	103	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
105	104, 102	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
106	105	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
107	99, 106	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
108	14	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> X e. D )
109		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. ZZ )
110	109	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
111	10, 11, 12, 13, 108, 110	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
112		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. NN )
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. NN )
114	113	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
115	114	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
116	115, 113	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. RR )
117	116	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. CC )
118	111, 117	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) e. CC )
119	95, 107, 118	fsummulc2 14516	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
120	99	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
121	106	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
122	120, 121, 111, 117	mul4d 10248	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
123	97	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. ZZ )
124	10, 11, 12, 13, 108, 123, 110	dchrzrhmul 24971	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) )
125	104	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
126	125	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
127	115	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. CC )
128	102	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. RR+ )
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. RR+ )
130	129, 114	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d x. m ) e. RR+ )
131	130	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) )
132		div23 10704	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC /\ ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
133	126, 127, 131, 132	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
134	129	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d e. CC /\ d =/= 0 ) )
135	114	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
136		divmuldiv 10725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC ) /\ ( ( d e. CC /\ d =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
137	126, 127, 134, 135, 136	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
138	113	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. CC )
139	129	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. CC )
140	129	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d =/= 0 )
141	138, 139, 140	divcan3d 10806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) / d ) = m )
142	141	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) = ( log ` m ) )
143	142	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
144	133, 137, 143	3eqtr4rd 2667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
145	124, 144	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
146	122, 145	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
147	146	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
148	119, 147	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
149	148	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ph -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
150	36, 94, 149	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   logclog 24301  Λcvma 24818   mmucmu 24821  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-mu 24827  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  25186