MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reasinsin Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem reasinsin 24623
Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
reasinsin |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = A )
Proof of Theorem reasinsin
StepHypRef Expression
1 neghalfpire 24217 . . . . . 6 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
21rexri 10097 . . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
3 halfpire 24216 . . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
43rexri 10097 . . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR*
5 pirp 24213 . . . . . . . . . 10 |- pi e. RR+
6 rphalfcl 11858 . . . . . . . . . 10 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( pi / 2 ) e. RR+
8 rpgt0 11844 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 < ( pi / 2 ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- 0 < ( pi / 2 )
10 lt0neg2 10535 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 ) )
113, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 )
129, 11mpbi 220 . . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) < 0
13 0re 10040 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
141, 13, 3lttri 10163 . . . . . . 7 |- ( ( -u ( pi / 2 ) < 0 /\ 0 < ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) < ( pi / 2 ) )
1512, 9, 14mp2an 708 . . . . . 6 |- -u ( pi / 2 ) < ( pi / 2 )
161, 3, 15ltleii 10160 . . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) <_ ( pi / 2 )
17 prunioo 12301 . . . . 5 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* /\ -u ( pi / 2 ) <_ ( pi / 2 ) ) -> ( ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) u. { -u ( pi / 2 ) , ( pi / 2 ) } ) = ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
182, 4, 16, 17mp3an 1424 . . . 4 |- ( ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) u. { -u ( pi / 2 ) , ( pi / 2 ) } ) = ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) )
1918eleq2i 2693 . . 3 |- ( A e. ( ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) u. { -u ( pi / 2 ) , ( pi / 2 ) } ) <-> A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
20 elun 3753 . . 3 |- ( A e. ( ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) u. { -u ( pi / 2 ) , ( pi / 2 ) } ) <-> ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) \/ A e. { -u ( pi / 2 ) , ( pi / 2 ) } ) )
2119, 20bitr3i 266 . 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) \/ A e. { -u ( pi / 2 ) , ( pi / 2 ) } ) )
22 elioore 12205 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
2322recnd 10068 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
2422rered 13964 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( Re ` A ) = A )
25 id 22 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
2624, 25eqeltrd 2701 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
27 asinsin 24619 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = A )
2823, 26, 27syl2anc 693 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = A )
29 elpri 4197 . . . 4 |- ( A e. { -u ( pi / 2 ) , ( pi / 2 ) } -> ( A = -u ( pi / 2 ) \/ A = ( pi / 2 ) ) )
30 ax-1cn 9994 . . . . . . . 8 |- 1 e. CC
31 asinneg 24613 . . . . . . . 8 |- ( 1 e. CC -> (arcsin ` -u 1 ) = -u (arcsin ` 1 ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 |- (arcsin ` -u 1 ) = -u (arcsin ` 1 )
33 asin1 24621 . . . . . . . 8 |- (arcsin ` 1 ) = ( pi / 2 )
3433negeqi 10274 . . . . . . 7 |- -u (arcsin ` 1 ) = -u ( pi / 2 )
3532, 34eqtri 2644 . . . . . 6 |- (arcsin ` -u 1 ) = -u ( pi / 2 )
36 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( A = -u ( pi / 2 ) -> ( sin ` A ) = ( sin ` -u ( pi / 2 ) ) )
373recni 10052 . . . . . . . . . 10 |- ( pi / 2 ) e. CC
38 sinneg 14876 . . . . . . . . . 10 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` -u ( pi / 2 ) ) = -u ( sin ` ( pi / 2 ) ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( sin ` -u ( pi / 2 ) ) = -u ( sin ` ( pi / 2 ) )
40 sinhalfpi 24220 . . . . . . . . . 10 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1
4140negeqi 10274 . . . . . . . . 9 |- -u ( sin ` ( pi / 2 ) ) = -u 1
4239, 41eqtri 2644 . . . . . . . 8 |- ( sin ` -u ( pi / 2 ) ) = -u 1
4336, 42syl6eq 2672 . . . . . . 7 |- ( A = -u ( pi / 2 ) -> ( sin ` A ) = -u 1 )
4443fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( A = -u ( pi / 2 ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = (arcsin ` -u 1 ) )
45 id 22 . . . . . 6 |- ( A = -u ( pi / 2 ) -> A = -u ( pi / 2 ) )
4635, 44, 453eqtr4a 2682 . . . . 5 |- ( A = -u ( pi / 2 ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = A )
47 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( A = ( pi / 2 ) -> ( sin ` A ) = ( sin ` ( pi / 2 ) ) )
4847, 40syl6eq 2672 . . . . . . 7 |- ( A = ( pi / 2 ) -> ( sin ` A ) = 1 )
4948fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( A = ( pi / 2 ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = (arcsin ` 1 ) )
50 id 22 . . . . . 6 |- ( A = ( pi / 2 ) -> A = ( pi / 2 ) )
5133, 49, 503eqtr4a 2682 . . . . 5 |- ( A = ( pi / 2 ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = A )
5246, 51jaoi 394 . . . 4 |- ( ( A = -u ( pi / 2 ) \/ A = ( pi / 2 ) ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = A )
5329, 52syl 17 . . 3 |- ( A e. { -u ( pi / 2 ) , ( pi / 2 ) } -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = A )
5428, 53jaoi 394 . 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) \/ A e. { -u ( pi / 2 ) , ( pi / 2 ) } ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = A )
5521, 54sylbi 207 1 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> (arcsin ` ( sin ` A ) ) = A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   Recre 13837   sincsin 14794   picpi 14797  arcsincasin 24589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-asin 24592
This theorem is referenced by:  asinrebnd  24628
  Copyright terms: Public domain W3C validator