Theorem sinhalfpilem 24215

Description: Lemma for sinhalfpi 24220 and coshalfpi 24221. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	|- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 10550	. . . . . 6 |- 0 < 1
2		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
3		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
4	2, 3	ltnsymi 10156	. . . . . 6 |- ( 0 < 1 -> -. 1 < 0 )
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. 1 < 0
6		lt0neg1 10534	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR -> ( 1 < 0 <-> 0 < -u 1 ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1 < 0 <-> 0 < -u 1 )
8	5, 7	mtbi 312	. . . 4 |- -. 0 < -u 1
9		pire 24210	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
10	9	rehalfcli 11281	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
11		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
12		pipos 24212	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
13		2pos 11112	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
14	9, 11, 12, 13	divgt0ii 10941	. . . . . . 7 |- 0 < ( pi / 2 )
15		4re 11097	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
16		pigt2lt4 24208	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
17	16	simpri 478	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
18	9, 15, 17	ltleii 10160	. . . . . . . 8 |- pi <_ 4
19	11, 13	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
20		ledivmul 10899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) ) )
21	9, 11, 19, 20	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) )
22		2t2e4 11177	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 2 ) = 4
23	22	breq2i 4661	. . . . . . . . 9 |- ( pi <_ ( 2 x. 2 ) <-> pi <_ 4 )
24	21, 23	bitr2i 265	. . . . . . . 8 |- ( pi <_ 4 <-> ( pi / 2 ) <_ 2 )
25	18, 24	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) <_ 2
26		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
27		elioc2 12236	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) ) )
28	26, 11, 27	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) )
29	10, 14, 25, 28	mpbir3an 1244	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 )
30		sin02gt0 14922	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) )
32		breq2 4657	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = -u 1 -> ( 0 < ( sin ` ( pi / 2 ) ) <-> 0 < -u 1 ) )
33	31, 32	mpbii 223	. . . 4 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = -u 1 -> 0 < -u 1 )
34	8, 33	mto 188	. . 3 |- -. ( sin ` ( pi / 2 ) ) = -u 1
35		sq1 12958	. . . . . 6 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
36		resincl 14870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR )
37	10, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. RR
38	37, 31	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) =/= 0
39	38	neii 2796	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 0
40		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
41	40	neii 2796	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 2 = 0
42	9	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- pi e. CC
43		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. CC
44	42, 43, 40	divcan2i 10768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. ( pi / 2 ) ) = pi
45	44	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` pi )
46	10	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi / 2 ) e. CC
47		sin2t 14907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
49	45, 48	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( sin ` pi ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) )
50		sinpi 24209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( sin ` pi ) = 0
51	49, 50	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0
52		sincl 14856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
53	46, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) e. CC
54		coscl 14857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC )
55	46, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) e. CC
56	53, 55	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) e. CC
57	43, 56	mul0ori 10675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( 2 = 0 \/ ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0 ) )
58	51, 57	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = 0 \/ ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0 )
59	41, 58	mtpor 1695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0
60	53, 55	mul0ori 10675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) x. ( cos ` ( pi / 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 0 \/ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 ) )
61	59, 60	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 0 \/ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )
62	39, 61	mtpor 1695	. . . . . . . . . 10 |- ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0
63	62	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 )
64		sq0 12955	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
65	63, 64	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = 0
66	65	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 )
67		sincossq 14906	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 2 ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
68	46, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) ) = 1
69	66, 68	eqtr3i 2646	. . . . . 6 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = 1
70	53	sqcli 12944	. . . . . . 7 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) e. CC
71	70	addid1i 10223	. . . . . 6 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 )
72	35, 69, 71	3eqtr2ri 2651	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 )
73		ax-1cn 9994	. . . . . 6 |- 1 e. CC
74	53, 73	sqeqori 12976	. . . . 5 |- ( ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 \/ ( sin ` ( pi / 2 ) ) = -u 1 ) )
75	72, 74	mpbi 220	. . . 4 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 \/ ( sin ` ( pi / 2 ) ) = -u 1 )
76	75	ori 390	. . 3 |- ( -. ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 -> ( sin ` ( pi / 2 ) ) = -u 1 )
77	34, 76	mt3 192	. 2 |- ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1
78	77, 62	pm3.2i 471	1 |- ( ( sin ` ( pi / 2 ) ) = 1 /\ ( cos ` ( pi / 2 ) ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   (,]cioc 12176   ^cexp 12860   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  24220  coshalfpi  24221