Theorem stlei 29099

Description: Ordering law for states. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stle.1	|- A e. CH
stle.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
stlei	|- ( S e. States -> ( A C_ B -> ( S ` A ) <_ ( S ` B ) ) )

Proof of Theorem stlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stle.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. CH
2	1	chshii 28084	. . . . . . . . 9 |- B e. SH
3		shococss 28153	. . . . . . . . 9 |- ( B e. SH -> B C_ ( _|_ ` ( _|_ ` B ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- B C_ ( _|_ ` ( _|_ ` B ) )
5		sstr2 3610	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( B C_ ( _|_ ` ( _|_ ` B ) ) -> A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` B ) ) ) )
6	4, 5	mpi 20	. . . . . . 7 |- ( A C_ B -> A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` B ) ) )
7		stle.1	. . . . . . . 8 |- A e. CH
8	1	choccli 28166	. . . . . . . 8 |- ( _|_ ` B ) e. CH
9	7, 8	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( A e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH )
10	6, 9	jctil 560	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( ( A e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) /\ A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` B ) ) ) )
11		stj 29094	. . . . . 6 |- ( S e. States -> ( ( ( A e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) /\ A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` B ) ) ) -> ( S ` ( A vH ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( S ` A ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) ) )
12	10, 11	syl5 34	. . . . 5 |- ( S e. States -> ( A C_ B -> ( S ` ( A vH ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( S ` A ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) ) )
13	12	imp 445	. . . 4 |- ( ( S e. States /\ A C_ B ) -> ( S ` ( A vH ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( S ` A ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) )
14	7, 8	chjcli 28316	. . . . . . 7 |- ( A vH ( _|_ ` B ) ) e. CH
15		stle1 29084	. . . . . . 7 |- ( S e. States -> ( ( A vH ( _|_ ` B ) ) e. CH -> ( S ` ( A vH ( _|_ ` B ) ) ) <_ 1 ) )
16	14, 15	mpi 20	. . . . . 6 |- ( S e. States -> ( S ` ( A vH ( _|_ ` B ) ) ) <_ 1 )
17	1	sto1i 29095	. . . . . 6 |- ( S e. States -> ( ( S ` B ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) = 1 )
18	16, 17	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( S e. States -> ( S ` ( A vH ( _|_ ` B ) ) ) <_ ( ( S ` B ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) )
19	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( S e. States /\ A C_ B ) -> ( S ` ( A vH ( _|_ ` B ) ) ) <_ ( ( S ` B ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) )
20	13, 19	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ( S e. States /\ A C_ B ) -> ( ( S ` A ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) <_ ( ( S ` B ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) )
21		stcl 29075	. . . . . . 7 |- ( S e. States -> ( A e. CH -> ( S ` A ) e. RR ) )
22	7, 21	mpi 20	. . . . . 6 |- ( S e. States -> ( S ` A ) e. RR )
23		stcl 29075	. . . . . . 7 |- ( S e. States -> ( B e. CH -> ( S ` B ) e. RR ) )
24	1, 23	mpi 20	. . . . . 6 |- ( S e. States -> ( S ` B ) e. RR )
25		stcl 29075	. . . . . . 7 |- ( S e. States -> ( ( _|_ ` B ) e. CH -> ( S ` ( _|_ ` B ) ) e. RR ) )
26	8, 25	mpi 20	. . . . . 6 |- ( S e. States -> ( S ` ( _|_ ` B ) ) e. RR )
27	22, 24, 26	3jca 1242	. . . . 5 |- ( S e. States -> ( ( S ` A ) e. RR /\ ( S ` B ) e. RR /\ ( S ` ( _|_ ` B ) ) e. RR ) )
28	27	adantr 481	. . . 4 |- ( ( S e. States /\ A C_ B ) -> ( ( S ` A ) e. RR /\ ( S ` B ) e. RR /\ ( S ` ( _|_ ` B ) ) e. RR ) )
29		leadd1 10496	. . . 4 |- ( ( ( S ` A ) e. RR /\ ( S ` B ) e. RR /\ ( S ` ( _|_ ` B ) ) e. RR ) -> ( ( S ` A ) <_ ( S ` B ) <-> ( ( S ` A ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) <_ ( ( S ` B ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) ) )
30	28, 29	syl 17	. . 3 |- ( ( S e. States /\ A C_ B ) -> ( ( S ` A ) <_ ( S ` B ) <-> ( ( S ` A ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) <_ ( ( S ` B ) + ( S ` ( _|_ ` B ) ) ) ) )
31	20, 30	mpbird 247	. 2 |- ( ( S e. States /\ A C_ B ) -> ( S ` A ) <_ ( S ` B ) )
32	31	ex 450	1 |- ( S e. States -> ( A C_ B -> ( S ` A ) <_ ( S ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   SHcsh 27785   CHcch 27786   _|_cort 27787   vH chj 27790   Statescst 27819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cau 23054  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-chj 28169  df-st 29070

This theorem is referenced by:  stlesi  29100  stm1i  29102