Theorem egt2lt3 14934

Description: Euler's constant _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	|- ( 2 < _e /\ _e < 3 )

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
3	1, 2	ege2le3 14820	. . . 4 |- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )
4	3	simpli 474	. . 3 |- 2 <_ _e
5		eirr 14933	. . . . . 6 |- _e e/ QQ
6	5	neli 2899	. . . . 5 |- -. _e e. QQ
7		nnq 11801	. . . . 5 |- ( _e e. NN -> _e e. QQ )
8	6, 7	mto 188	. . . 4 |- -. _e e. NN
9		2nn 11185	. . . . . 6 |- 2 e. NN
10		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( _e = 2 -> ( _e e. NN <-> 2 e. NN ) )
11	9, 10	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( _e = 2 -> _e e. NN )
12	11	necon3bi 2820	. . . 4 |- ( -. _e e. NN -> _e =/= 2 )
13	8, 12	ax-mp 5	. . 3 |- _e =/= 2
14		2re 11090	. . . 4 |- 2 e. RR
15		ere 14819	. . . 4 |- _e e. RR
16	14, 15	ltleni 10155	. . 3 |- ( 2 < _e <-> ( 2 <_ _e /\ _e =/= 2 ) )
17	4, 13, 16	mpbir2an 955	. 2 |- 2 < _e
18	3	simpri 478	. . 3 |- _e <_ 3
19		3nn 11186	. . . . . 6 |- 3 e. NN
20		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( 3 = _e -> ( 3 e. NN <-> _e e. NN ) )
21	19, 20	mpbii 223	. . . . 5 |- ( 3 = _e -> _e e. NN )
22	21	necon3bi 2820	. . . 4 |- ( -. _e e. NN -> 3 =/= _e )
23	8, 22	ax-mp 5	. . 3 |- 3 =/= _e
24		3re 11094	. . . 4 |- 3 e. RR
25	15, 24	ltleni 10155	. . 3 |- ( _e < 3 <-> ( _e <_ 3 /\ 3 =/= _e ) )
26	18, 23, 25	mpbir2an 955	. 2 |- _e < 3
27	17, 26	pm3.2i 471	1 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   QQcq 11788   ^cexp 12860   !cfa 13060   _eceu 14793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799

This theorem is referenced by:  epos  14935  ene1  14938  logblog  24530  cxploglim2  24705  emgt0  24733  harmonicbnd3  24734  bposlem7  25015  bposlem9  25017  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  dchrvmasumlema  25189  mulog2sumlem2  25224  pntpbnd1a  25274  pntpbnd2  25276  pntlemb  25286  pntlemk  25295  hgt750lem  30729  subfacval3  31171  etransclem23  40474