Theorem tanabsge 24258

Description: The tangent function is greater than or equal to its argument in absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanabsge	|- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( abs ` A ) <_ ( abs ` ( tan ` A ) ) )

Proof of Theorem tanabsge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12205	. . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> A e. RR )
3	2	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> -u A e. RR )
4	1	lt0neg1d 10597	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )
5	4	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> 0 < -u A )
6		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
7	6	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
9		halfpire 24216	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi / 2 ) e. RR
10		ltnegcon1 10529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) < A <-> -u A < ( pi / 2 ) ) )
11	9, 2, 10	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( -u ( pi / 2 ) < A <-> -u A < ( pi / 2 ) ) )
12	8, 11	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> -u A < ( pi / 2 ) )
13		0xr 10086	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
14	9	rexri 10097	. . . . . . . . . 10 |- ( pi / 2 ) e. RR*
15		elioo2 12216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( -u A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u A e. RR /\ 0 < -u A /\ -u A < ( pi / 2 ) ) ) )
16	13, 14, 15	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( -u A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u A e. RR /\ 0 < -u A /\ -u A < ( pi / 2 ) ) )
17	3, 5, 12, 16	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> -u A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
18		sincosq1sgn 24250	. . . . . . . 8 |- ( -u A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` -u A ) /\ 0 < ( cos ` -u A ) ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( 0 < ( sin ` -u A ) /\ 0 < ( cos ` -u A ) ) )
20	19	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> 0 < ( cos ` -u A ) )
21	20	gt0ne0d 10592	. . . . 5 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( cos ` -u A ) =/= 0 )
22	3, 21	retancld 14875	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( tan ` -u A ) e. RR )
23		tangtx 24257	. . . . 5 |- ( -u A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> -u A < ( tan ` -u A ) )
24	17, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> -u A < ( tan ` -u A ) )
25	3, 22, 24	ltled 10185	. . 3 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> -u A <_ ( tan ` -u A ) )
26		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
27		ltle 10126	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A < 0 -> A <_ 0 ) )
28	1, 26, 27	sylancl 694	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A < 0 -> A <_ 0 ) )
29	28	imp 445	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> A <_ 0 )
30	2, 29	absnidd 14152	. . 3 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( abs ` A ) = -u A )
31	1	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> A e. CC )
33	32	negnegd 10383	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> -u -u A = A )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( tan ` -u -u A ) = ( tan ` A ) )
35	32	negcld 10379	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> -u A e. CC )
36		tanneg 14878	. . . . . . 7 |- ( ( -u A e. CC /\ ( cos ` -u A ) =/= 0 ) -> ( tan ` -u -u A ) = -u ( tan ` -u A ) )
37	35, 21, 36	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( tan ` -u -u A ) = -u ( tan ` -u A ) )
38	34, 37	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( tan ` A ) = -u ( tan ` -u A ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( abs ` ( tan ` A ) ) = ( abs ` -u ( tan ` -u A ) ) )
40	22	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( tan ` -u A ) e. CC )
41	40	absnegd 14188	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( abs ` -u ( tan ` -u A ) ) = ( abs ` ( tan ` -u A ) ) )
42		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> 0 e. RR )
43		ltle 10126	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ -u A e. RR ) -> ( 0 < -u A -> 0 <_ -u A ) )
44	26, 3, 43	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( 0 < -u A -> 0 <_ -u A ) )
45	5, 44	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> 0 <_ -u A )
46	42, 3, 22, 45, 25	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> 0 <_ ( tan ` -u A ) )
47	22, 46	absidd 14161	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( abs ` ( tan ` -u A ) ) = ( tan ` -u A ) )
48	39, 41, 47	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( abs ` ( tan ` A ) ) = ( tan ` -u A ) )
49	25, 30, 48	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A < 0 ) -> ( abs ` A ) <_ ( abs ` ( tan ` A ) ) )
50		abs0 14025	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
51	50, 26	eqeltri 2697	. . . . 5 |- ( abs ` 0 ) e. RR
52	51	leidi 10562	. . . 4 |- ( abs ` 0 ) <_ ( abs ` 0 )
53	52	a1i 11	. . 3 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A = 0 ) -> ( abs ` 0 ) <_ ( abs ` 0 ) )
54		simpr 477	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A = 0 ) -> A = 0 )
55	54	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A = 0 ) -> ( abs ` A ) = ( abs ` 0 ) )
56	54	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A = 0 ) -> ( tan ` A ) = ( tan ` 0 ) )
57		tan0 14881	. . . . 5 |- ( tan ` 0 ) = 0
58	56, 57	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A = 0 ) -> ( tan ` A ) = 0 )
59	58	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A = 0 ) -> ( abs ` ( tan ` A ) ) = ( abs ` 0 ) )
60	53, 55, 59	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ A = 0 ) -> ( abs ` A ) <_ ( abs ` ( tan ` A ) ) )
61	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> A e. RR )
62		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> 0 < A )
63	6	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> A < ( pi / 2 ) )
65		elioo2 12216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
66	13, 14, 65	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
67	61, 62, 64, 66	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
68		sincosq1sgn 24250	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
70	69	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> 0 < ( cos ` A ) )
71	70	gt0ne0d 10592	. . . . 5 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> ( cos ` A ) =/= 0 )
72	61, 71	retancld 14875	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> ( tan ` A ) e. RR )
73		tangtx 24257	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( tan ` A ) )
74	67, 73	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> A < ( tan ` A ) )
75	61, 72, 74	ltled 10185	. . 3 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> A <_ ( tan ` A ) )
76		ltle 10126	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
77	26, 1, 76	sylancr 695	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
78	77	imp 445	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> 0 <_ A )
79	61, 78	absidd 14161	. . 3 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) = A )
80		0red 10041	. . . . 5 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> 0 e. RR )
81	80, 61, 72, 78, 75	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> 0 <_ ( tan ` A ) )
82	72, 81	absidd 14161	. . 3 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` ( tan ` A ) ) = ( tan ` A ) )
83	75, 79, 82	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) <_ ( abs ` ( tan ` A ) ) )
84		lttri4 10122	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A < 0 \/ A = 0 \/ 0 < A ) )
85	1, 26, 84	sylancl 694	. 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A < 0 \/ A = 0 \/ 0 < A ) )
86	49, 60, 83, 85	mpjao3dan 1395	1 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( abs ` A ) <_ ( abs ` ( tan ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   (,)cioo 12175   abscabs 13974   sincsin 14794   cosccos 14795   tanctan 14796   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  logcnlem4  24391