Theorem uniioovol 23347

Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 23322.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioovol	|- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x

Allowed substitution hint:   S( x)

Proof of Theorem uniioovol

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
2		ssid 3624	. . 3 |- U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( (,) o. F )
3		uniioombl.3	. . . 4 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
4	3	ovollb 23247	. . 3 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( (,) o. F ) ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
5	1, 2, 4	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
6	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
7		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... n ) -> x e. NN )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
9	8	ovolfsval 23239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
10	6, 7, 9	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
11		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
12	6, 7, 11	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
13		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
14		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15	6, 7, 14	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
16	13, 15	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) e. ( RR X. RR ) )
17		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` x ) e. ( RR X. RR ) -> ( F ` x ) = <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) = <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( F ` x ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. ) )
20		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
21	19, 20	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( F ` x ) ) = ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
22	12, 21	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
23		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) e. dom vol
24	22, 23	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
25		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
27	22	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) )
28		ovolfcl 23235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
29	6, 7, 28	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
30		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
32	26, 27, 31	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
33	10, 32	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
34		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
35		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
36	34, 35	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37	29	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR )
38	29	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR )
39	37, 38	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) e. RR )
40	32, 39	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR )
41	40	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. CC )
42	33, 36, 41	fsumser 14461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` n ) )
43	3	fveq1i 6192	. . . . . . . 8 |- ( S ` n ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` n )
44	42, 43	syl6reqr 2675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
45		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
46	24, 40	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) )
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. x e. ( 1 ... n ) ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) )
48	7	ssriv 3607	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... n ) C_ NN
49		uniioombl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
50	1, 11	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
51	50	disjeq2dv 4625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) <-> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) ) )
52	49, 51	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
54		disjss1 4626	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> (Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) -> Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
55	48, 53, 54	mpsyl 68	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) )
56		volfiniun 23315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ A. x e. ( 1 ... n ) ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) /\ Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
57	45, 47, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
58	24	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
59		finiunmbl 23312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ A. x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
60	45, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
61		mblvol 23298	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
63	44, 57, 62	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
64		iunss1 4532	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
65	48, 64	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
66		ioof 12271	. . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
67		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
68	13, 67	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
69		fss 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
70	1, 68, 69	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
71		fco 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
72	66, 70, 71	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
74		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> ( (,) o. F ) Fn NN )
75		fniunfv 6505	. . . . . . . . 9 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) = U. ran ( (,) o. F ) )
76	73, 74, 75	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) = U. ran ( (,) o. F ) )
77	65, 76	sseqtrd 3641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U. ran ( (,) o. F ) )
78		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR )
79	72, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR )
80		sspwuni 4611	. . . . . . . . 9 |- ( ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR <-> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
81	79, 80	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
82	81	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
83		ovolss 23253	. . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U. ran ( (,) o. F ) /\ U. ran ( (,) o. F ) C_ RR ) -> ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
84	77, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
85	63, 84	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
86	85	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
87	8, 3	ovolsf 23241	. . . . . 6 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
88	1, 87	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
89		ffn 6045	. . . . 5 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
90		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = ( S ` n ) -> ( y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
91	90	ralrn 6362	. . . . 5 |- ( S Fn NN -> ( A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
92	88, 89, 91	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
93	86, 92	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
94		frn 6053	. . . . . 6 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
95	1, 87, 94	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
96		icossxr 12258	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
97	95, 96	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
98		ovolcl 23246	. . . . 5 |- ( U. ran ( (,) o. F ) C_ RR -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* )
99	81, 98	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* )
100		supxrleub 12156	. . . 4 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
101	97, 99, 100	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
102	93, 101	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
103		supxrcl 12145	. . . 4 |- ( ran S C_ RR* -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
104	97, 103	syl 17	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
105		xrletri3 11985	. . 3 |- ( ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* /\ sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* ) -> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) ) )
106	99, 104, 105	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) ) )
107	5, 102, 106	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   sum_csu 14416   vol*covol 23231   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  uniiccvol  23348  uniioombllem2  23351