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Theorem volsup2 23373
Description: The volume of A is the supremum of the sequence vol* ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) of volumes of bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
volsup2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> E. n e. NN B < ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, n   B, n
Proof of Theorem volsup2
Dummy variables m x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1063 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> B < ( vol ` A ) )
2 rexr 10085 . . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
323ad2ant2 1083 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> B e. RR* )
4 iccssxr 12256 . . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
5 volf 23297 . . . . . . . . 9 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
65ffvelrni 6358 . . . . . . . 8 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
74, 6sseldi 3601 . . . . . . 7 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) e. RR* )
873ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( vol ` A ) e. RR* )
9 xrltnle 10105 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ ( vol ` A ) e. RR* ) -> ( B < ( vol ` A ) <-> -. ( vol ` A ) <_ B ) )
103, 8, 9syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( B < ( vol ` A ) <-> -. ( vol ` A ) <_ B ) )
111, 10mpbid 222 . . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> -. ( vol ` A ) <_ B )
12 negeq 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> -u m = -u n )
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> m = n )
1412, 13oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( -u m [,] m ) = ( -u n [,] n ) )
1514ineq2d 3814 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) = ( A i^i ( -u n [,] n ) ) )
16 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) = ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) )
17 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u n [,] n ) e. _V
1817inex2 4800 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i ( -u n [,] n ) ) e. _V
1915, 16, 18fvmpt 6282 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( -u n [,] n ) ) )
2019iuneq2i 4539 . . . . . . . . . 10 |- U_ n e. NN ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) = U_ n e. NN ( A i^i ( -u n [,] n ) )
21 iunin2 4584 . . . . . . . . . 10 |- U_ n e. NN ( A i^i ( -u n [,] n ) ) = ( A i^i U_ n e. NN ( -u n [,] n ) )
2220, 21eqtri 2644 . . . . . . . . 9 |- U_ n e. NN ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) = ( A i^i U_ n e. NN ( -u n [,] n ) )
23 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> A e. dom vol )
24 nnre 11027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. RR )
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> n e. RR )
2625renegcld 10457 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> -u n e. RR )
27 iccmbl 23334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u n e. RR /\ n e. RR ) -> ( -u n [,] n ) e. dom vol )
2826, 25, 27syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( -u n [,] n ) e. dom vol )
29 inmbl 23310 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. dom vol /\ ( -u n [,] n ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( -u n [,] n ) ) e. dom vol )
3023, 28, 29syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( A i^i ( -u n [,] n ) ) e. dom vol )
3115cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) = ( n e. NN |-> ( A i^i ( -u n [,] n ) ) )
3230, 31fmptd 6385 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom vol )
33 ffn 6045 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom vol -> ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) Fn NN )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) Fn NN )
35 fniunfv 6505 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) Fn NN -> U_ n e. NN ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) = U. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> U_ n e. NN ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) = U. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) )
37 mblss 23299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
38373ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> A C_ RR )
3938sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
40 recn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> x e. CC )
4140abscld 14175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> ( abs ` x ) e. RR )
42 arch 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` x ) e. RR -> E. n e. NN ( abs ` x ) < n )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> E. n e. NN ( abs ` x ) < n )
44 ltle 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` x ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( abs ` x ) < n -> ( abs ` x ) <_ n ) )
4541, 24, 44syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ n e. NN ) -> ( ( abs ` x ) < n -> ( abs ` x ) <_ n ) )
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. RR /\ -u n <_ x /\ x <_ n ) -> ( x e. RR /\ -u n <_ x /\ x <_ n ) )
47463expib 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( ( -u n <_ x /\ x <_ n ) -> ( x e. RR /\ -u n <_ x /\ x <_ n ) ) )
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ n e. NN ) -> ( ( -u n <_ x /\ x <_ n ) -> ( x e. RR /\ -u n <_ x /\ x <_ n ) ) )
49 absle 14055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( abs ` x ) <_ n <-> ( -u n <_ x /\ x <_ n ) ) )
5024, 49sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ n e. NN ) -> ( ( abs ` x ) <_ n <-> ( -u n <_ x /\ x <_ n ) ) )
5124adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. RR /\ n e. NN ) -> n e. RR )
5251renegcld 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. RR /\ n e. NN ) -> -u n e. RR )
53 elicc2 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u n e. RR /\ n e. RR ) -> ( x e. ( -u n [,] n ) <-> ( x e. RR /\ -u n <_ x /\ x <_ n ) ) )
5452, 51, 53syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ n e. NN ) -> ( x e. ( -u n [,] n ) <-> ( x e. RR /\ -u n <_ x /\ x <_ n ) ) )
5548, 50, 543imtr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ n e. NN ) -> ( ( abs ` x ) <_ n -> x e. ( -u n [,] n ) ) )
5645, 55syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ n e. NN ) -> ( ( abs ` x ) < n -> x e. ( -u n [,] n ) ) )
5756reximdva 3017 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( E. n e. NN ( abs ` x ) < n -> E. n e. NN x e. ( -u n [,] n ) ) )
5843, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> E. n e. NN x e. ( -u n [,] n ) )
5939, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ x e. A ) -> E. n e. NN x e. ( -u n [,] n ) )
6059ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( x e. A -> E. n e. NN x e. ( -u n [,] n ) ) )
61 eliun 4524 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U_ n e. NN ( -u n [,] n ) <-> E. n e. NN x e. ( -u n [,] n ) )
6260, 61syl6ibr 242 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( x e. A -> x e. U_ n e. NN ( -u n [,] n ) ) )
6362ssrdv 3609 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> A C_ U_ n e. NN ( -u n [,] n ) )
64 df-ss 3588 . . . . . . . . . 10 |- ( A C_ U_ n e. NN ( -u n [,] n ) <-> ( A i^i U_ n e. NN ( -u n [,] n ) ) = A )
6563, 64sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( A i^i U_ n e. NN ( -u n [,] n ) ) = A )
6622, 36, 653eqtr3a 2680 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> U. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) = A )
6766fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( vol ` U. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) = ( vol ` A ) )
68 peano2re 10209 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. RR -> ( n + 1 ) e. RR )
6925, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. RR )
7069renegcld 10457 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> -u ( n + 1 ) e. RR )
7125lep1d 10955 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> n <_ ( n + 1 ) )
7225, 69lenegd 10606 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( n <_ ( n + 1 ) <-> -u ( n + 1 ) <_ -u n ) )
7371, 72mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> -u ( n + 1 ) <_ -u n )
74 iccss 12241 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -u ( n + 1 ) e. RR /\ ( n + 1 ) e. RR ) /\ ( -u ( n + 1 ) <_ -u n /\ n <_ ( n + 1 ) ) ) -> ( -u n [,] n ) C_ ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) )
7570, 69, 73, 71, 74syl22anc 1327 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( -u n [,] n ) C_ ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) )
76 sslin 3839 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u n [,] n ) C_ ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) -> ( A i^i ( -u n [,] n ) ) C_ ( A i^i ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) ) )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( A i^i ( -u n [,] n ) ) C_ ( A i^i ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) ) )
7819adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( -u n [,] n ) ) )
79 peano2nn 11032 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
8079adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
81 negeq 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n + 1 ) -> -u m = -u ( n + 1 ) )
82 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n + 1 ) -> m = ( n + 1 ) )
8381, 82oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( -u m [,] m ) = ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) )
8483ineq2d 3814 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) = ( A i^i ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) ) )
85 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) e. _V
8685inex2 4800 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) ) e. _V
8784, 16, 86fvmpt 6282 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( A i^i ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) ) )
8880, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( A i^i ( -u ( n + 1 ) [,] ( n + 1 ) ) ) )
8977, 78, 883sstr4d 3648 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) C_ ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` ( n + 1 ) ) )
9089ralrimiva 2966 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> A. n e. NN ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) C_ ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` ( n + 1 ) ) )
91 volsup 23324 . . . . . . . 8 |- ( ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom vol /\ A. n e. NN ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) C_ ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` ( n + 1 ) ) ) -> ( vol ` U. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) , RR* , < ) )
9232, 90, 91syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( vol ` U. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) , RR* , < ) )
9367, 92eqtr3d 2658 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( vol ` A ) = sup ( ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) , RR* , < ) )
9493breq1d 4663 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( ( vol ` A ) <_ B <-> sup ( ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) , RR* , < ) <_ B ) )
95 imassrn 5477 . . . . . . 7 |- ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) C_ ran vol
96 frn 6053 . . . . . . . . 9 |- ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) -> ran vol C_ ( 0 [,] +oo ) )
975, 96ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ran vol C_ ( 0 [,] +oo )
9897, 4sstri 3612 . . . . . . 7 |- ran vol C_ RR*
9995, 98sstri 3612 . . . . . 6 |- ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) C_ RR*
100 supxrleub 12156 . . . . . 6 |- ( ( ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( sup ( ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) , RR* , < ) <_ B <-> A. n e. ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) n <_ B ) )
10199, 3, 100sylancr 695 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( sup ( ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) , RR* , < ) <_ B <-> A. n e. ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) n <_ B ) )
102 ffn 6045 . . . . . . . 8 |- ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) -> vol Fn dom vol )
1035, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 |- vol Fn dom vol
104 frn 6053 . . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom vol -> ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) C_ dom vol )
10532, 104syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) C_ dom vol )
106 breq1 4656 . . . . . . . 8 |- ( n = ( vol ` z ) -> ( n <_ B <-> ( vol ` z ) <_ B ) )
107106ralima 6498 . . . . . . 7 |- ( ( vol Fn dom vol /\ ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) C_ dom vol ) -> ( A. n e. ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) n <_ B <-> A. z e. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ( vol ` z ) <_ B ) )
108103, 105, 107sylancr 695 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( A. n e. ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) n <_ B <-> A. z e. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ( vol ` z ) <_ B ) )
109 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) -> ( vol ` z ) = ( vol ` ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) ) )
110109breq1d 4663 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) -> ( ( vol ` z ) <_ B <-> ( vol ` ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) ) <_ B ) )
111110ralrn 6362 . . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ( vol ` z ) <_ B <-> A. n e. NN ( vol ` ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) ) <_ B ) )
11234, 111syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( A. z e. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ( vol ` z ) <_ B <-> A. n e. NN ( vol ` ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) ) <_ B ) )
11319fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( vol ` ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) ) = ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) )
114113breq1d 4663 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( vol ` ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) ) <_ B <-> ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B ) )
115114ralbiia 2979 . . . . . . 7 |- ( A. n e. NN ( vol ` ( ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ` n ) ) <_ B <-> A. n e. NN ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B )
116112, 115syl6bb 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( A. z e. ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ( vol ` z ) <_ B <-> A. n e. NN ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B ) )
117108, 116bitrd 268 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( A. n e. ( vol " ran ( m e. NN |-> ( A i^i ( -u m [,] m ) ) ) ) n <_ B <-> A. n e. NN ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B ) )
11894, 101, 1173bitrd 294 . . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( ( vol ` A ) <_ B <-> A. n e. NN ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B ) )
11911, 118mtbid 314 . . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> -. A. n e. NN ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B )
120 rexnal 2995 . . 3 |- ( E. n e. NN -. ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B <-> -. A. n e. NN ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B )
121119, 120sylibr 224 . 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> E. n e. NN -. ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B )
1223adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> B e. RR* )
1235ffvelrni 6358 . . . . . 6 |- ( ( A i^i ( -u n [,] n ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
1244, 123sseldi 3601 . . . . 5 |- ( ( A i^i ( -u n [,] n ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) e. RR* )
12530, 124syl 17 . . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) e. RR* )
126 xrltnle 10105 . . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) e. RR* ) -> ( B < ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <-> -. ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B ) )
127122, 125, 126syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) /\ n e. NN ) -> ( B < ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <-> -. ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B ) )
128127rexbidva 3049 . 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> ( E. n e. NN B < ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <-> E. n e. NN -. ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) <_ B ) )
129121, 128mpbird 247 1 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR /\ B < ( vol ` A ) ) -> E. n e. NN B < ( vol ` ( A i^i ( -u n [,] n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   NNcn 11020   [,]cicc 12178   abscabs 13974   volcvol 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234
This theorem is referenced by:  volivth  23375
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