Theorem dvef 23743

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	⊢ (ℂ D exp) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 23672	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D exp):dom (ℂ D exp)⟶ℂ
2		dvbsss 23666	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (ℂ D exp) ⊆ ℂ
3		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
4		fconstg 6092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}):ℂ⟶{(exp‘𝑥)})
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}):ℂ⟶{(exp‘𝑥)})
6	3	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {(exp‘𝑥)} ⊆ ℂ)
7	5, 6	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}):ℂ⟶ℂ)
8		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
10		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
11	10	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
12		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))
15	13, 14	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))):ℂ⟶ℂ)
16		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
20	16	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ V
21	20	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ {0}
22		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ {0}) → ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ × {0}))
23	21, 22	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ × {0}))
24		dvconst 23680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})) = (ℂ × {0}))
25	3, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})) = (ℂ × {0}))
26	23, 25	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})))
27		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥(ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)}))0 ↔ ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})))
28	26, 27	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)}))0)
29		eff 14812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))
32	11, 31	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
33		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 − 𝑥) = (𝑥 − 𝑥))
34		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 − 𝑥) ∈ V
35	33, 31, 34	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))‘𝑥) = (𝑥 − 𝑥))
36		subid 10300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 𝑥) = 0)
37	35, 36	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))‘𝑥) = 0)
38		dveflem 23742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0(ℂ D exp)1
39	37, 38	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))‘𝑥)(ℂ D exp)1)
40	18	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ V
41	40	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ {1}
42		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ {1}) → ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ × {1}))
43	41, 42	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ × {1}))
44		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
47	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
48	45	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
49		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
52	45, 51	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
53	45, 46, 47, 48, 49, 50, 52	dvmptsub 23730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
54		1m0e1 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 − 0) = 1
55	54	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
56		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
57	55, 56	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (ℂ × {1})
58	53, 57	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))) = (ℂ × {1}))
59	43, 58	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))))
60		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)))1 ↔ ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))))
61	59, 60	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)))1)
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
63	30, 9, 32, 9, 9, 9, 19, 19, 39, 61, 62	dvcobr 23709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))))(1 · 1))
64		1t1e1 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
65	63, 64	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))))1)
66		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)))
67	30	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑧 − 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(𝑧 − 𝑥)))
69	11, 66, 67, 68	fmptco 6396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))))
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)))) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))
71	70	breqd 4664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))))1 ↔ 𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))))1))
72	65, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))))1)
73	7, 9, 15, 9, 9, 17, 19, 28, 72, 62	dvmulbr 23702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))((0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥)) + (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥))))
74	15, 51	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥) ∈ ℂ)
75	74	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥)) = 0)
76		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘𝑥) ∈ V
77	76	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥) = (exp‘𝑥))
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥)) = (1 · (exp‘𝑥)))
79	3	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑥))
80	78, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥)) = (exp‘𝑥))
81	75, 80	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥)) + (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥))) = (0 + (exp‘𝑥)))
82	3	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑥))
83	81, 82	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥)) + (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥))) = (exp‘𝑥))
84	73, 83	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))(exp‘𝑥))
85		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
87	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ V)
88		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (exp‘(𝑧 − 𝑥)) ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑧 − 𝑥)) ∈ V)
90		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ × {(exp‘𝑥)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
92		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))))
93	86, 87, 89, 91, 92	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))
94	30	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
95		efadd 14824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑧 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥))))
96	11, 95	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑧 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥))))
97		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑧 − 𝑥)) = 𝑧)
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑧 − 𝑥))) = (exp‘𝑧))
99	96, 98	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥))) = (exp‘𝑧))
100	99	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
101	94, 100	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))
102	93, 101	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))) = exp)
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))))) = (ℂ D exp))
104	103	breqd 4664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))(exp‘𝑥) ↔ 𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥)))
105	84, 104	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥))
106		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
107	106, 76	breldm 5329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D exp))
108	105, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ dom (ℂ D exp))
109	108	ssriv 3607	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ dom (ℂ D exp)
110	2, 109	eqssi 3619	. . . . . . . 8 ⊢ dom (ℂ D exp) = ℂ
111	110	feq2i 6037	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ D exp):dom (ℂ D exp)⟶ℂ ↔ (ℂ D exp):ℂ⟶ℂ)
112	1, 111	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D exp):ℂ⟶ℂ
113	112	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp):ℂ⟶ℂ)
114	113	feqmptd 6249	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((ℂ D exp)‘𝑥)))
115		ffun 6048	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ D exp):dom (ℂ D exp)⟶ℂ → Fun (ℂ D exp))
116	1, 115	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun (ℂ D exp)
117		funbrfv 6234	. . . . . 6 ⊢ (Fun (ℂ D exp) → (𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥) → ((ℂ D exp)‘𝑥) = (exp‘𝑥)))
118	116, 105, 117	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ D exp)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
119	118	mpteq2ia 4740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((ℂ D exp)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
120	114, 119	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
121	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
122	121	feqmptd 6249	. . 3 ⊢ (⊤ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
123	120, 122	eqtr4d 2659	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = exp)
124	123	trud 1493	1 ⊢ (ℂ D exp) = exp

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  dom cdm 5114   ∘ ccom 5118  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  expce 14792  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvsincos  23744  efcn  24197  efcvx  24203  pige3  24269  dvrelog  24383  dvlog  24397  dvcxp1  24481  dvcxp2  24482  dvcncxp1  24484  itgexpif  30684  dvsef  38531  expgrowthi  38532  expgrowth  38534