Theorem pige3 24269

Description: π is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter 2π. We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pige3	⊢ 3 ≤ π

Proof of Theorem pige3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 11095	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	mulid2i 10043	. 2 ⊢ (1 · 3) = 3
3		tru 1487	. . . . . 6 ⊢ ⊤
4		0xr 10086	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		pirp 24213	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
6		3re 11094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
7		3pos 11114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
8	6, 7	elrpii 11835	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ+
11		rpxr 11840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ*
13		rpge0 11845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (π / 3)
15		lbicc2 12288	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
16	4, 12, 14, 15	mp3an 1424	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,](π / 3))
17		ubicc2 12289	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
18	4, 12, 14, 17	mp3an 1424	. . . . . . 7 ⊢ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
19	16, 18	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
20		0re 10040	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
22		pire 24210	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
23		3ne0 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
24	22, 6, 23	redivcli 10792	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
26		efcn 24197	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
28		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
29	20, 24, 28	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
30		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
31	29, 30	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
32		resmpt 5449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
33	31, 32	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
34		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
36		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
38		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
39	36, 37, 38	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))
41	39, 40	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
42		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
44		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
46	43	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
47	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
48	43, 37, 45, 46, 47	dvmptcmul 23727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
49	36	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · 1) = i
50	49	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
51	48, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
52	51	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
53	36	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ V
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
55	53, 54	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
56	52, 55	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
57		dvcn 23684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
58	35, 41, 35, 56, 57	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
59		rescncf 22700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
60	31, 58, 59	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
61	33, 60	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
62	27, 61	cncfmpt1f 22716	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
63		reelprrecn 10028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
65		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
66		efcl 14813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
67	39, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
68	65, 67	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
69		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
70	67, 36, 69	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
71	65, 70	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
73	72	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
74		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
75	73, 74	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
76	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
77		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
78	76, 77	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
79	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
80		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
82		dvef 23743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂ D exp) = exp
83		eff 14812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
85	84	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
87	82, 86, 85	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
88		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
89	43, 43, 39, 79, 81, 81, 51, 87, 88, 88	dvmptco 23735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
90	72, 64, 75, 78, 67, 70, 89	dvmptres3 23719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
91	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
92	72	tgioo2 22606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
93		iccntr 22624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
94	20, 25, 93	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
95	64, 68, 71, 90, 91, 92, 72, 94	dvmptres2 23725	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
96	95	dmeqd 5326	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
97		ovex 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
98		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
99	97, 98	dmmpti 6023	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
100	96, 99	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
101		1re 10039	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
102	101	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
103	95	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
104		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
105	104	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
106	105	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
107	106, 98, 97	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
108	103, 107	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
110		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
112	111	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
113	112	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
114		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
115	36, 113, 114	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
116		efcl 14813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
118		absmul 14034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
119	117, 36, 118	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
120		absefi 14926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
121	112, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
122		absi 14026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘i) = 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
124	121, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
125	44	mulid1i 10042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
126	124, 125	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
127	109, 119, 126	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
128		1le1 10655	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
129	127, 128	syl6eqbr 4692	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
130	21, 25, 62, 100, 102, 129	dvlip 23756	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
131	3, 19, 130	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
132		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
133		it0e0 11254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · 0) = 0
134	132, 133	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
135	134	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
136		ef0 14821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
137	135, 136	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
138		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
139		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
140	137, 138, 139	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
141	16, 140	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
142		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
143	142	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
144	143, 138, 139	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
145	18, 144	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
146	141, 145	oveq12i 6662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
147	24	recni 10052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
148	36, 147	mulcli 10045	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (π / 3)) ∈ ℂ
149		efcl 14813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
150	148, 149	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
151		negicn 10282	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
152	151, 147	mulcli 10045	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · (π / 3)) ∈ ℂ
153		efcl 14813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ)
154	152, 153	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ
155		cosval 14853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2))
156	147, 155	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2)
157		sincos3rdpi 24268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
158	157	simpri 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
159	156, 158	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
160	150, 154	addcli 10044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) ∈ ℂ
161		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
162		2ne0 11113	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
163	160, 44, 161, 162	div11i 10784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1)
164	159, 163	mpbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1
165	44, 150, 154, 164	subaddrii 10370	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘(-i · (π / 3)))
166		mulneg12 10468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
167	36, 147, 166	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
168	167	fveq2i 6194	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘(-i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
169	146, 165, 168	3eqtri 2648	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
170	169	fveq2i 6194	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
171	147	absnegi 14139	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
172		df-neg 10269	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 3) = (0 − (π / 3))
173	172	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
174	171, 173	eqtr3i 2646	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
175		rprege0 11847	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
176		absid 14036	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
177	10, 175, 176	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
178	174, 177	eqtr3i 2646	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
179	178	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
180	131, 170, 179	3brtr3i 4682	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
181	24	renegcli 10342	. . . . 5 ⊢ -(π / 3) ∈ ℝ
182		absefi 14926	. . . . 5 ⊢ (-(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
183	181, 182	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
184	147	mulid2i 10043	. . . 4 ⊢ (1 · (π / 3)) = (π / 3)
185	180, 183, 184	3brtr3i 4682	. . 3 ⊢ 1 ≤ (π / 3)
186	6, 7	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
187		lemuldiv 10903	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
188	101, 22, 186, 187	mp3an 1424	. . 3 ⊢ ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
189	185, 188	mpbir 221	. 2 ⊢ (1 · 3) ≤ π
190	2, 189	eqbrtrri 4676	1 ⊢ 3 ≤ π

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ran crn 5115   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  ici 9938   + caddc 9939   · cmul 9941  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  3c3 11071  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,]cicc 12178  √csqrt 13973  abscabs 13974  expce 14792  sincsin 14794  cosccos 14795  πcpi 14797  TopOpenctopn 16082  topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715  intcnt 20821  –cn→ccncf 22679   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

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