Theorem log2tlbnd 24672

Description: Bound the error term in the series of log2cnv 24671. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
log2tlbnd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem log2tlbnd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 11389	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
4	3	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
5	4	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑛) + 1)))
6		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (9↑𝑘) = (9↑𝑛))
7	5, 6	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) = ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
9		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
10		ovex 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
12	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
13		2re 11090	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3nn 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
17		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
18	15, 16, 17	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
19		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
21		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
22	14, 20, 21	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
23		9nn 11192	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ
24		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
25	23, 16, 24	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
26	22, 25	nnmulcld 11068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
27		nndivre 11056	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
28	13, 26, 27	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
30	9	log2cnv 24671	. . . . . . 7 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2)
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2))
32	1, 2, 12, 29, 31	isumclim 14488	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (log‘2))
33		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
34		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		seqex 12803	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ V
36		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ V
37	35, 36	breldm 5329	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
38	30, 37	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
39	1, 33, 34, 12, 29, 38	isumsplit 14572	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
40	32, 39	eqtr3d 2658	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘2) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
41	40	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
42		fzfid 12772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
43		elfznn0 12433	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
44	43, 29	sylan2 491	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
45	42, 44	fsumcl 14464	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
46		nn0z 11400	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
47		eluznn0 11757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
48	47, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
49	47, 28	syldan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
50	12, 29	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) ∈ ℂ)
51	1, 34, 50	iserex 14387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ ))
52	38, 51	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
53	33, 46, 48, 49, 52	isumrecl 14496	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
54	53	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
55	45, 54	pncan2d 10394	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
56	41, 55	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
57	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
58		0le2 11111	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
59	58	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 2)
60	26	nnred 11035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
61	26	nngt0d 11064	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
62		divge0 10892	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
63	57, 59, 60, 61, 62	syl22anc 1327	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
64	47, 63	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
65	33, 46, 48, 49, 52, 64	isumge0 14497	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
66		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 9)↑𝑘) = ((1 / 9)↑𝑛))
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
68		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))
69		ovex 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) ∈ V
70	67, 68, 69	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
71	70	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
72		9cn 11108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 9 ∈ ℂ)
74	23	nnne0i 11055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ≠ 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 9 ≠ 0)
76		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
78	73, 75, 77	exprecd 13016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 9)↑𝑛) = (1 / (9↑𝑛)))
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (1 / (9↑𝑛))))
80		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
81	15, 80	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
82		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
84		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
85	14, 83, 84	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
86		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ) → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
87	13, 85, 86	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
88	87	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
89	88	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
90	25	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℂ)
91	25	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ≠ 0)
92	89, 90, 91	divrecd 10804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) / (9↑𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (1 / (9↑𝑛))))
93		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
94	85	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
95	94	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
96	94	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≠ 0)
97	93, 95, 90, 96, 91	divdiv1d 10832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) / (9↑𝑛)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
98	79, 92, 97	3eqtr2d 2662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
99	71, 98	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
100	47, 99	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
101	94, 25	nnmulcld 11068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
102		nndivre 11056	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
103	13, 101, 102	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
104	47, 103	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
105	81	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
106	105	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
107	15, 47, 17	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
108	107	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
109		1red 10055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
110		eluzle 11700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑛)
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑛)
112		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
114	47	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
115	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
116		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 < 2)
118		lemul2 10876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑁 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛)))
119	113, 114, 115, 117, 118	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛)))
120	111, 119	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛))
121	106, 108, 109, 120	leadd1dd 10641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
122	83	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
123	122	nnred 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
124	47, 20	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
125	124	nnred 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
126		3re 11094	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
127	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 3 ∈ ℝ)
128		3pos 11114	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 < 3)
130		lemul2 10876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1))))
131	123, 125, 127, 129, 130	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1))))
132	121, 131	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)))
133	85	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
134	133	nnred 11035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
135	47, 22	syldan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
136	135	nnred 11035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
137	23, 47, 24	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
138	137	nnred 11035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (9↑𝑛) ∈ ℝ)
139	137	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 < (9↑𝑛))
140		lemul1 10875	. . . . . . . 8 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ ∧ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((9↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (9↑𝑛))) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ↔ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
141	134, 136, 138, 139, 140	syl112anc 1330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ↔ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
142	132, 141	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
143	47, 101	syldan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
144	143	nnred 11035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
145	143	nngt0d 11064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))
146	47, 60	syldan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
147	47, 61	syldan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
148		lediv2 10913	. . . . . . 7 ⊢ (((((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ (((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ↔ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))))
149	144, 145, 146, 147, 115, 117, 148	syl222anc 1342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ↔ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))))
150	142, 149	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
151		9re 11107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
152	151, 74	rereccli 10790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
153	152	recni 10052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 9) ∈ ℂ
154	153	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 / 9) ∈ ℂ)
155		0re 10040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
156		9pos 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 9
157	151, 156	recgt0ii 10929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < (1 / 9)
158	155, 152, 157	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (1 / 9)
159		absid 14036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 9) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 9)) → (abs‘(1 / 9)) = (1 / 9))
160	152, 158, 159	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘(1 / 9)) = (1 / 9)
161		1lt9 11229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 9
162		recgt1i 10920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((9 ∈ ℝ ∧ 1 < 9) → (0 < (1 / 9) ∧ (1 / 9) < 1))
163	151, 161, 162	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < (1 / 9) ∧ (1 / 9) < 1)
164	163	simpri 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 9) < 1
165	160, 164	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(1 / 9)) < 1
166	165	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(1 / 9)) < 1)
167		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))
168		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 9)↑𝑛) ∈ V
169	66, 167, 168	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) = ((1 / 9)↑𝑛))
170	47, 169	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) = ((1 / 9)↑𝑛))
171	154, 166, 34, 170	geolim2 14602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))) ⇝ (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))))
172	72	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 9 ∈ ℂ)
173	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 9 ≠ 0)
174	172, 173, 46	exprecd 13016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / 9)↑𝑁) = (1 / (9↑𝑁)))
175	72, 74	dividi 10758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 / 9) = 1
176	175	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 / 9) − (1 / 9)) = (1 − (1 / 9))
177		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
178	72, 74	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
179		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((9 − 1) / 9) = ((9 / 9) − (1 / 9)))
180	72, 177, 178, 179	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((9 − 1) / 9) = ((9 / 9) − (1 / 9))
181		df-9 11086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 = (8 + 1)
182	181	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (9 − 1) = ((8 + 1) − 1)
183		8cn 11106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℂ
184	183, 177	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((8 + 1) − 1) = 8
185	182, 184	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 − 1) = 8
186	185	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((9 − 1) / 9) = (8 / 9)
187	180, 186	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 / 9) − (1 / 9)) = (8 / 9)
188	176, 187	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 9)) = (8 / 9)
189	188	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 − (1 / 9)) = (8 / 9))
190	174, 189	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))) = ((1 / (9↑𝑁)) / (8 / 9)))
191	177	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
192		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
193	23, 192	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
194	193	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ∈ ℂ)
195	183, 72, 74	divcli 10767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 9) ∈ ℂ
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (8 / 9) ∈ ℂ)
197	193	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ≠ 0)
198		8nn 11191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ
199	198	nnne0i 11055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ≠ 0
200	183, 72, 199, 74	divne0i 10773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 9) ≠ 0
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (8 / 9) ≠ 0)
202	191, 194, 196, 197, 201	divdiv32d 10826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / (9↑𝑁)) / (8 / 9)) = ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)))
203		recdiv 10731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0) ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → (1 / (8 / 9)) = (9 / 8))
204	183, 199, 72, 74, 203	mp4an 709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (8 / 9)) = (9 / 8)
205	204	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)) = ((9 / 8) / (9↑𝑁))
206	183	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
207	199	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 8 ≠ 0)
208	172, 206, 194, 207, 197	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((9 / 8) / (9↑𝑁)) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
209	205, 208	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
210	190, 202, 209	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
211	171, 210	breqtrd 4679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))) ⇝ (9 / (8 · (9↑𝑁))))
212		expcl 12878	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 9) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 9)↑𝑛) ∈ ℂ)
213	153, 47, 212	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((1 / 9)↑𝑛) ∈ ℂ)
214	170, 213	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
215	47, 70	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
216	170	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
217	215, 216	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛)))
218	33, 46, 88, 211, 214, 217	isermulc2 14388	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))))
219		seqex 12803	. . . . . . 7 ⊢ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ V
220		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) ∈ V
221	219, 220	breldm 5329	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
222	218, 221	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
223	33, 46, 48, 49, 100, 104, 150, 52, 222	isumle 14576	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
224	104	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
225		3cn 11095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
226		4cn 11098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
227		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
228		4ne0 11117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 0
229		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
230		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
231	225, 226, 227, 225, 228, 229, 230	divdivdivi 10788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 / 4) / (2 / 3)) = ((3 · 3) / (4 · 2))
232		3t3e9 11180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 3) = 9
233		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
234	232, 233	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 3) / (4 · 2)) = (9 / 8)
235	231, 234	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 / 4) / (2 / 3)) = (9 / 8)
236	235	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) · ((3 / 4) / (2 / 3))) = ((2 / 3) · (9 / 8))
237	225, 226, 228	divcli 10767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 4) ∈ ℂ
238	227, 225, 229	divcli 10767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
239	227, 225, 230, 229	divne0i 10773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 / 3) ≠ 0
240	237, 238, 239	divcan2i 10768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) · ((3 / 4) / (2 / 3))) = (3 / 4)
241	236, 240	eqtr3i 2646	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3) · (9 / 8)) = (3 / 4)
242	241	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))) = ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))
243		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
244	225	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
245	83	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
246	229	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
247	83	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
248	243, 244, 245, 246, 247	divdiv1d 10832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))))
249	248, 208	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) · ((9 / 8) / (9↑𝑁))) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))))
250	238	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / 3) ∈ ℂ)
251	72, 183, 199	divcli 10767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 / 8) ∈ ℂ
252	251	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (9 / 8) ∈ ℂ)
253	250, 245, 252, 194, 247, 197	divmuldivd 10842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) · ((9 / 8) / (9↑𝑁))) = (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
254	249, 253	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) = (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
255	226	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
256	255, 245, 194	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
257	256	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) = (3 / (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))))
258	83, 193	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ)
259	258	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ)
260	228	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
261	258	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ≠ 0)
262	244, 255, 259, 260, 261	divdiv1d 10832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))) = (3 / (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))))
263	257, 262	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) = ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
264	242, 254, 263	3eqtr4a 2682	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) = (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
265	218, 264	breqtrd 4679	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
266	33, 46, 100, 224, 265	isumclim 14488	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) = (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
267	223, 266	breqtrd 4679	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
268		4nn 11187	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
269		nnmulcl 11043	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ) → (4 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
270	268, 83, 269	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (4 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
271	270, 193	nnmulcld 11068	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ)
272		nndivre 11056	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ)
273	126, 271, 272	sylancr 695	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ)
274		elicc2 12238	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ) → (Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) ↔ (Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))))
275	155, 273, 274	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) ↔ (Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))))
276	53, 65, 267, 275	mpbir3and 1245	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
277	56, 276	eqeltrd 2701	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  8c8 11076  9c9 11077  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  [,]cicc 12178  ...cfz 12326  seqcseq 12801  ↑cexp 12860  abscabs 13974   ⇝ cli 14215  Σcsu 14416  logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-atan 24594

This theorem is referenced by:  log2ub  24676