Theorem jm2.22 37562

Description: Lemma for jm2.20nn 37564. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.22	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝑁,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥

Proof of Theorem jm2.22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 11400	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℤ)
2		jm2.21 37561	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽))
3	1, 2	syl3an3 1361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽))
4		frmx 37478	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
5	4	fovcl 6765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
6	5	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 11353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
8		eluzelz 11697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10		peano2zm 11420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
13	12	zcnd 11483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
14	13	sqrtcld 14176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
15		frmy 37479	. . . . . . . . 9 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
16	15	fovcl 6765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	3adant3 1081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 11483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
19	14, 18	mulcld 10060	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
20		simp3 1063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
21		binom 14562	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
22	7, 19, 20, 21	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
23		rabnc 3962	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅)
25		rabxm 3961	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥})
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}))
27		fzfid 12772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (0...𝐽) ∈ Fin)
28		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
29		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℤ)
30	29	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℤ)
31		bccl 13109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑖) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
33	28, 30, 32	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
34	33	zcnd 11483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ)
35	6	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
37	36	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
38		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝐽 − 𝑖) ∈ ℕ0)
39	38	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽 − 𝑖) ∈ ℕ0)
40	37, 39	expcld 13008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℂ)
41	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
42	41	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
43	42	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
44	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
45	44	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
46	43, 45	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
47		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ0)
48	47	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
49	46, 48	expcld 13008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℂ)
50	40, 49	mulcld 10060	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℂ)
51	34, 50	mulcld 10060	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℂ)
52	24, 26, 27, 51	fsumsplit 14471	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))))
53		fzfi 12771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝐽) ∈ Fin
54		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)
55		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
56	53, 54, 55	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
58		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ 𝑖))
59	58	notbid 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑖))
60	59	elrab 3363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖))
61	34	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ)
62	40	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℂ)
63		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
64	17, 47, 63	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
65	64	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
66	65	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
67	42	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
68	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
69		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 𝑖)
70		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 1 ∈ ℤ)
71		n2dvds1 15104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 1)
73		omoe 15088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑖 − 1))
74	68, 69, 70, 72, 73	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 − 1))
75		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℤ)
77		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ≠ 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ≠ 0)
79		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
80	29, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
82		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑖 − 1) ↔ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ))
83	76, 78, 81, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (2 ∥ (𝑖 − 1) ↔ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ))
84	74, 83	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ)
85	80	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
87		dvds0 14997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
88	75, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∥ 0
89		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 0 → (2 ∥ 𝑖 ↔ 2 ∥ 0))
90	88, 89	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 0 → 2 ∥ 𝑖)
91	90	con3i 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑖 → ¬ 𝑖 = 0)
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 𝑖 = 0)
93	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ0)
94		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0))
95	93, 94	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0))
96		orel2 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑖 = 0 → ((𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0) → 𝑖 ∈ ℕ))
97	92, 95, 96	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ)
98		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
100	99	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ (𝑖 − 1))
101		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℝ)
103		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 < 2)
105		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑖 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑖 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2))
106	86, 100, 102, 104, 105	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2))
107		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2)))
108	84, 106, 107	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
110	67, 109	expcld 13008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
111	66, 110	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
112	62, 111	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
113	61, 112	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
114	60, 113	sylan2b 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
115	57, 14, 114	fsummulc2 14516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
116	43	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
117	116, 61, 112	mul12d 10245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
118	116, 62, 111	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
119	43, 48	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈ ℂ)
120	119	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈ ℂ)
121	66, 120	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
122	116, 66, 110	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))
123		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℕ0
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℕ0)
125	116, 109, 124	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · ((𝑖 − 1) / 2))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑((𝑖 − 1) / 2)))
126	80	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ)
127	126	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ)
128		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℂ)
129	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ≠ 0)
130	127, 128, 129	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (2 · ((𝑖 − 1) / 2)) = (𝑖 − 1))
131	130	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · ((𝑖 − 1) / 2))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)))
132	67	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
133	132	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑((𝑖 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))
134	125, 131, 133	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)))
135	134	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
136	116, 110	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
137	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ)
138		expm1t 12888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
139	116, 137, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
140	135, 136, 139	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖))
141	140	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)))
142	122, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)))
143	43, 45, 48	mulexpd 13023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
144	143	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
145	121, 142, 144	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))
146	145	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))
147	118, 146	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
149	117, 148	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
150	60, 149	sylan2b 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
151	150	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
152	115, 151	eqtr2d 2657	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
153	152	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
154	52, 153	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
155	3, 22, 154	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
156		rmspecsqrtnq 37470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
157	156	3ad2ant1 1082	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
158		nn0ssq 11796	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
159		simp1 1061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
160		simp2 1062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
161	1	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ ℤ)
162	160, 161	zmulcld 11488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ)
163	4	fovcl 6765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℕ0)
164	159, 162, 163	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℕ0)
165	158, 164	sseldi 3601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ)
166		zssq 11795	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
167	15	fovcl 6765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ)
168	159, 162, 167	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ)
169	166, 168	sseldi 3601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ)
170		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)
171		ssfi 8180	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
172	53, 170, 171	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin
173	172	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
174	58	elrab 3363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖))
175	33	adantrr 753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
176		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑖) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℤ)
177	36, 39, 176	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℤ)
178	177	adantrr 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℤ)
179	43	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
180	45	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
181	47	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
182	179, 180, 181	mulexpd 13023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
183	29	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℂ)
184	183	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℂ)
185		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ∈ ℂ)
186	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ≠ 0)
187	184, 185, 186	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (2 · (𝑖 / 2)) = 𝑖)
188	187	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2)))
189	188	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2)))
190	189	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2))))
191	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
192	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
193		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℤ)
194		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 ↔ (𝑖 / 2) ∈ ℤ))
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑖 ↔ (𝑖 / 2) ∈ ℤ))
196	195	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℤ)
197		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
198	197	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
199		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑖)
200	199	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ 𝑖)
201	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℝ)
202	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 < 2)
203		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑖 / 2))
204	198, 200, 201, 202, 203	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ (𝑖 / 2))
205		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖 / 2)))
206	196, 204, 205	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
207	47, 206	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
208	207	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
209	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℕ0)
210	179, 208, 209	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑(𝑖 / 2)))
211	42	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
212	211	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
213	212	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑(𝑖 / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)))
214	190, 210, 213	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)))
215	214	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
216	182, 215	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
217		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑖 / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ)
218	12, 207, 217	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ)
219	64	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
220	218, 219	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℤ)
221	216, 220	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℤ)
222	178, 221	zmulcld 11488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℤ)
223	175, 222	zmulcld 11488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
224	174, 223	sylan2b 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
225	173, 224	fsumzcl 14466	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
226	166, 225	sseldi 3601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ)
227	33	adantrr 753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
228	177	adantrr 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℤ)
229	64	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
230		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
231	12, 108, 230	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
232	229, 231	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
233	228, 232	zmulcld 11488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈ ℤ)
234	227, 233	zmulcld 11488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
235	60, 234	sylan2b 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
236	57, 235	fsumzcl 14466	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
237	166, 236	sseldi 3601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℚ)
238		qirropth 37473	. . . 4 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ) ∧ (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ ∧ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
239	157, 165, 169, 226, 237, 238	syl122anc 1335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
240	155, 239	mpbid 222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
241	240	simprd 479	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {crab 2916   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℚcq 11788  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  Ccbc 13089  √csqrt 13973  Σcsu 14416   ∥ cdvds 14983   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.23  37563