Theorem 2sqb 25157

Description: The converse to 2sq 25155. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2sqb	|- ( P e. Prime -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) ) )

Distinct variable group:   x, y, P

Proof of Theorem 2sqb

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2795	. . . 4 |- ( P =/= 2 <-> -. P = 2 )
2		prmz 15389	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
3	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
4		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> y e. ZZ )
5		bezout 15260	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) )
7		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
8		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) )
9		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
10		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> a e. ZZ )
11		simprlr 803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> b e. ZZ )
12		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) )
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	2sqblem 25156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 )
14	13	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
15	14	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
16	6, 15	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 )
17	16	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
18	17	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
19	18	impancom 456	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( P =/= 2 -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
20	1, 19	syl5bir 233	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( -. P = 2 -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
21	20	orrd 393	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) )
22		1z 11407	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
23		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( x ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
24		sq1 12958	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x ^ 2 ) = 1 )
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( 1 + ( y ^ 2 ) ) )
27	26	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> P = ( 1 + ( y ^ 2 ) ) ) )
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 1 -> ( y ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
29	28, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( y ^ 2 ) = 1 )
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y = 1 -> ( 1 + ( y ^ 2 ) ) = ( 1 + 1 ) )
31		1p1e2 11134	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
32	30, 31	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( 1 + ( y ^ 2 ) ) = 2 )
33	32	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( P = ( 1 + ( y ^ 2 ) ) <-> P = 2 ) )
34	27, 33	rspc2ev 3324	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ P = 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
35	22, 22, 34	mp3an12 1414	. . . 4 |- ( P = 2 -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
36	35	adantl 482	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P = 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
37		2sq 25155	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( P mod 4 ) = 1 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
38	36, 37	jaodan 826	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	21, 38	impbida 877	1 |- ( P e. Prime -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   4c4 11072   ZZcz 11377   mod cmo 12668   ^cexp 12860   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-pc 15542  df-gz 15634  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-evl1 19681  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890  df-uc1p 23891  df-q1p 23892  df-r1p 23893  df-lgs 25020

This theorem is referenced by: (None)