Theorem 2sqblem 25156

Description: The converse to 2sq 25155. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqb.1	|- ( ph -> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
2sqb.2	|- ( ph -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )
2sqb.3	|- ( ph -> P = ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
2sqb.4	|- ( ph -> A e. ZZ )
2sqb.5	|- ( ph -> B e. ZZ )
2sqb.6	|- ( ph -> ( P gcd Y ) = ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
2sqblem	|- ( ph -> ( P mod 4 ) = 1 )

Proof of Theorem 2sqblem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqb.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
2	1	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
3		nprmdvds1 15418	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> -. P || 1 )
5		prmz 15389	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
7		1z 11407	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
8		dvdsnegb 14999	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( P || 1 <-> P || -u 1 ) )
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( P || 1 <-> P || -u 1 ) )
10	4, 9	mtbid 314	. . 3 |- ( ph -> -. P || -u 1 )
11		2sqb.2	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )
12	11	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ZZ )
13		2sqb.5	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ZZ )
14	12, 13	zmulcld 11488	. . . 4 |- ( ph -> ( X x. B ) e. ZZ )
15		zsqcl 12934	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
17		dvdsmul1 15003	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. ZZ ) -> P || ( P x. ( B ^ 2 ) ) )
18	6, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> P || ( P x. ( B ^ 2 ) ) )
19	11	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. ZZ )
20	19, 13	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y x. B ) e. ZZ )
21		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y x. B ) e. ZZ -> ( ( Y x. B ) ^ 2 ) e. ZZ )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) ^ 2 ) e. ZZ )
23		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
25	24	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
26		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X x. B ) e. ZZ -> ( ( X x. B ) ^ 2 ) e. ZZ )
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X x. B ) ^ 2 ) e. ZZ )
28	27	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) e. ZZ )
29	28	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
30	25, 29	addcomd 10238	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) = ( ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) + ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) ) )
31	27	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X x. B ) ^ 2 ) e. CC )
32		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
34	22	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) ^ 2 ) e. CC )
35	31, 33, 34	ppncand 10432	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) + ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) ) = ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + ( ( Y x. B ) ^ 2 ) ) )
36		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. ZZ -> ( X ^ 2 ) e. ZZ )
37	12, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. ZZ )
38	37	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. CC )
39		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. ZZ -> ( Y ^ 2 ) e. ZZ )
40	19, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) e. ZZ )
41	40	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) e. CC )
42	16	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
43	38, 41, 42	adddird 10065	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) x. ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( Y ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) ) )
44		2sqb.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P = ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P x. ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) x. ( B ^ 2 ) ) )
46	12	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. CC )
47	13	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
48	46, 47	sqmuld 13020	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X x. B ) ^ 2 ) = ( ( X ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
49	19	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. CC )
50	49, 47	sqmuld 13020	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) ^ 2 ) = ( ( Y ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
51	48, 50	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + ( ( Y x. B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( Y ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) ) )
52	43, 45, 51	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + ( ( Y x. B ) ^ 2 ) ) = ( P x. ( B ^ 2 ) ) )
53	30, 35, 52	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) = ( P x. ( B ^ 2 ) ) )
54	18, 53	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ph -> P || ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) )
55		2sqb.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
56		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> P || ( P x. A ) )
57	6, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P || ( P x. A ) )
58	6, 55	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P x. A ) e. ZZ )
59		dvdsnegb 14999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ ( P x. A ) e. ZZ ) -> ( P || ( P x. A ) <-> P || -u ( P x. A ) ) )
60	6, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P || ( P x. A ) <-> P || -u ( P x. A ) ) )
61	57, 60	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P || -u ( P x. A ) )
62	20	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y x. B ) e. CC )
63		negsubdi2 10340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( Y x. B ) e. CC ) -> -u ( 1 - ( Y x. B ) ) = ( ( Y x. B ) - 1 ) )
64	32, 62, 63	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( 1 - ( Y x. B ) ) = ( ( Y x. B ) - 1 ) )
65	19	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Y e. RR )
66		absresq 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Y e. RR -> ( ( abs ` Y ) ^ 2 ) = ( Y ^ 2 ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) ^ 2 ) = ( Y ^ 2 ) )
68	65	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) e. RR )
69		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
70	2, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> P e. NN )
71	70	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> P e. RR )
72	71	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( P ^ 2 ) e. RR )
73		zsqcl2 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( X e. ZZ -> ( X ^ 2 ) e. NN0 )
74	12, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. NN0 )
75		nn0addge2 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( Y ^ 2 ) e. RR /\ ( X ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( Y ^ 2 ) <_ ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
76	68, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) <_ ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
77	76, 44	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) <_ P )
78	6	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> P e. CC )
79	78	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
80	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
81		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. ZZ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
83		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
84	2, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
85		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
86	85	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
87	84, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 < P )
88		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 < 2
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 < 2 )
90		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( P e. RR /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 1 < P /\ 1 < 2 ) ) -> ( P ^ 1 ) < ( P ^ 2 ) )
91	71, 80, 82, 87, 89, 90	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) < ( P ^ 2 ) )
92	79, 91	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> P < ( P ^ 2 ) )
93	68, 71, 72, 77, 92	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) < ( P ^ 2 ) )
94	67, 93	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) ^ 2 ) < ( P ^ 2 ) )
95	49	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. RR )
96	49	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` Y ) )
97	70	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> P e. NN0 )
98	97	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ P )
99	95, 71, 96, 98	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) < P <-> ( ( abs ` Y ) ^ 2 ) < ( P ^ 2 ) ) )
100	94, 99	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` Y ) < P )
101	6	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> P e. RR )
102	95, 101	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) < P <-> -. P <_ ( abs ` Y ) ) )
103	100, 102	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -. P <_ ( abs ` Y ) )
104		sqnprm 15414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X e. ZZ -> -. ( X ^ 2 ) e. Prime )
105	12, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> -. ( X ^ 2 ) e. Prime )
106	49	abs00ad 14030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) = 0 <-> Y = 0 ) )
107	44, 2	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) e. Prime )
108		sq0i 12956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Y = 0 -> ( Y ^ 2 ) = 0 )
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Y = 0 -> ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) = ( ( X ^ 2 ) + 0 ) )
110	109	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Y = 0 -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) e. Prime <-> ( ( X ^ 2 ) + 0 ) e. Prime ) )
111	107, 110	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( Y = 0 -> ( ( X ^ 2 ) + 0 ) e. Prime ) )
112	38	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) + 0 ) = ( X ^ 2 ) )
113	112	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + 0 ) e. Prime <-> ( X ^ 2 ) e. Prime ) )
114	111, 113	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Y = 0 -> ( X ^ 2 ) e. Prime ) )
115	106, 114	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) = 0 -> ( X ^ 2 ) e. Prime ) )
116	105, 115	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> -. ( abs ` Y ) = 0 )
117		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Y e. ZZ -> ( abs ` Y ) e. NN0 )
118	19, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. NN0 )
119		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( abs ` Y ) e. NN0 <-> ( ( abs ` Y ) e. NN \/ ( abs ` Y ) = 0 ) )
120	118, 119	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) e. NN \/ ( abs ` Y ) = 0 ) )
121	120	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( -. ( abs ` Y ) e. NN -> ( abs ` Y ) = 0 ) )
122	116, 121	mt3d 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. NN )
123		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ZZ /\ ( abs ` Y ) e. NN ) -> ( P || ( abs ` Y ) -> P <_ ( abs ` Y ) ) )
124	6, 122, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P || ( abs ` Y ) -> P <_ ( abs ` Y ) ) )
125	103, 124	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -. P || ( abs ` Y ) )
126		dvdsabsb 15001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( P || Y <-> P || ( abs ` Y ) ) )
127	6, 19, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( P || Y <-> P || ( abs ` Y ) ) )
128	125, 127	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -. P || Y )
129		coprm 15423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ Y e. ZZ ) -> ( -. P || Y <-> ( P gcd Y ) = 1 ) )
130	2, 19, 129	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( -. P || Y <-> ( P gcd Y ) = 1 ) )
131	128, 130	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P gcd Y ) = 1 )
132		2sqb.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P gcd Y ) = ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) )
133	131, 132	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 = ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) )
134	133	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 - ( Y x. B ) ) = ( ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) - ( Y x. B ) ) )
135	58	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P x. A ) e. CC )
136	135, 62	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) - ( Y x. B ) ) = ( P x. A ) )
137	134, 136	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 - ( Y x. B ) ) = ( P x. A ) )
138	137	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( 1 - ( Y x. B ) ) = -u ( P x. A ) )
139	64, 138	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) - 1 ) = -u ( P x. A ) )
140	61, 139	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P || ( ( Y x. B ) - 1 ) )
141	20	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) + 1 ) e. ZZ )
142		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y x. B ) e. ZZ -> ( ( Y x. B ) - 1 ) e. ZZ )
143	20, 142	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) - 1 ) e. ZZ )
144		dvdsmultr2 15021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( Y x. B ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( Y x. B ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( Y x. B ) - 1 ) -> P || ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) ) )
145	6, 141, 143, 144	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P || ( ( Y x. B ) - 1 ) -> P || ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) ) )
146	140, 145	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P || ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) )
147		sq1 12958	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
148	147	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 )
149		subsq 12972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y x. B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) )
150	62, 32, 149	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) )
151	148, 150	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) )
152	146, 151	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> P || ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) )
153		dvdsadd2b 15028	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ P || ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) ) ) -> ( P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) ) )
154	6, 28, 24, 152, 153	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) ) )
155	54, 154	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) )
156		subneg 10330	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) )
157	31, 32, 156	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) )
158	155, 157	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ph -> P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) )
159		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = ( X x. B ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( X x. B ) ^ 2 ) )
160	159	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = ( X x. B ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) )
161	160	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( x = ( X x. B ) -> ( P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) <-> P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) ) )
162	161	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( X x. B ) e. ZZ /\ P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) ) -> E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) )
163	14, 158, 162	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) )
164		neg1z 11413	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
165		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
166	1, 165	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
167		lgsqr 25076	. . . 4 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( -. P || -u 1 /\ E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) ) ) )
168	164, 166, 167	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( -. P || -u 1 /\ E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) ) ) )
169	10, 163, 168	mpbir2and 957	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 /L P ) = 1 )
170		m1lgs 25113	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
171	166, 170	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
172	169, 171	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( P mod 4 ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   mod cmo 12668   ^cexp 12860   abscabs 13974   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   /Lclgs 25019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-evl1 19681  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890  df-uc1p 23891  df-q1p 23892  df-r1p 23893  df-lgs 25020

This theorem is referenced by:  2sqb  25157