Theorem chordthmlem2 24560

Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 24559, where P = B, and using angrtmuld 24538 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem2.angdef	|- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
chordthmlem2.A	|- ( ph -> A e. CC )
chordthmlem2.B	|- ( ph -> B e. CC )
chordthmlem2.Q	|- ( ph -> Q e. CC )
chordthmlem2.X	|- ( ph -> X e. RR )
chordthmlem2.M	|- ( ph -> M = ( ( A + B ) / 2 ) )
chordthmlem2.P	|- ( ph -> P = ( ( X x. A ) + ( ( 1 - X ) x. B ) ) )
chordthmlem2.ABequidistQ	|- ( ph -> ( abs ` ( A - Q ) ) = ( abs ` ( B - Q ) ) )
chordthmlem2.PneM	|- ( ph -> P =/= M )
chordthmlem2.QneM	|- ( ph -> Q =/= M )

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem2	|- ( ph -> ( ( Q - M ) F ( P - M ) ) e. { ( pi / 2 ) , -u ( pi / 2 ) } )

Distinct variable groups:   x, y, Q   x, P, y   x, M, y   x, B, y   x, A, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem chordthmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmlem2.angdef	. . 3 |- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
2		chordthmlem2.A	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
3		chordthmlem2.B	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		chordthmlem2.Q	. . 3 |- ( ph -> Q e. CC )
5		chordthmlem2.M	. . 3 |- ( ph -> M = ( ( A + B ) / 2 ) )
6		chordthmlem2.ABequidistQ	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( A - Q ) ) = ( abs ` ( B - Q ) ) )
7		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. RR )
9		2ne0 11113	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
11	8, 10	rereccld 10852	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
12		chordthmlem2.X	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
13	11, 12	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - X ) e. RR )
14	13	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - X ) e. CC )
15	3, 2	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
16	11	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
17	12	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. CC )
18	16, 17, 15	subdird 10487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) - X ) x. ( B - A ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) - ( X x. ( B - A ) ) ) )
19		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. CC )
20	3, 19, 10	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B x. 2 ) / 2 ) = B )
21	3	times2d 11276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B x. 2 ) = ( B + B ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B x. 2 ) / 2 ) = ( ( B + B ) / 2 ) )
23	20, 22	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B = ( ( B + B ) / 2 ) )
24	23, 5	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - M ) = ( ( ( B + B ) / 2 ) - ( ( A + B ) / 2 ) ) )
25	3, 3	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B + B ) e. CC )
26	2, 3	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
27	25, 26, 19, 10	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( B + B ) - ( A + B ) ) / 2 ) = ( ( ( B + B ) / 2 ) - ( ( A + B ) / 2 ) ) )
28	3, 2, 3	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B + B ) - ( A + B ) ) = ( B - A ) )
29	28	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( B + B ) - ( A + B ) ) / 2 ) = ( ( B - A ) / 2 ) )
30	24, 27, 29	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - M ) = ( ( B - A ) / 2 ) )
31	15, 19, 10	divrec2d 10805	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - A ) / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) )
32	30, 31	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - M ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) )
33		chordthmlem2.P	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P = ( ( X x. A ) + ( ( 1 - X ) x. B ) ) )
34	17, 2	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X x. A ) e. CC )
35		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
36	35, 17	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - X ) e. CC )
37	36, 3	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. B ) e. CC )
38	34, 37	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X x. A ) + ( ( 1 - X ) x. B ) ) e. CC )
39	33, 38	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. CC )
40	2, 39, 3, 17	affineequiv 24553	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P = ( ( X x. A ) + ( ( 1 - X ) x. B ) ) <-> ( B - P ) = ( X x. ( B - A ) ) ) )
41	33, 40	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - P ) = ( X x. ( B - A ) ) )
42	32, 41	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - M ) - ( B - P ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) - ( X x. ( B - A ) ) ) )
43	26	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) e. CC )
44	5, 43	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. CC )
45	3, 44, 39	nnncan1d 10426	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - M ) - ( B - P ) ) = ( P - M ) )
46	18, 42, 45	3eqtr2rd 2663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P - M ) = ( ( ( 1 / 2 ) - X ) x. ( B - A ) ) )
47		chordthmlem2.PneM	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P =/= M )
48	39, 44, 47	subne0d 10401	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P - M ) =/= 0 )
49	46, 48	eqnetrrd 2862	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) - X ) x. ( B - A ) ) =/= 0 )
50	14, 15, 49	mulne0bbd 10683	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - A ) =/= 0 )
51	3, 2, 50	subne0ad 10403	. . . 4 |- ( ph -> B =/= A )
52	51	necomd 2849	. . 3 |- ( ph -> A =/= B )
53		chordthmlem2.QneM	. . 3 |- ( ph -> Q =/= M )
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53	chordthmlem 24559	. 2 |- ( ph -> ( ( Q - M ) F ( B - M ) ) e. { ( pi / 2 ) , -u ( pi / 2 ) } )
55	4, 44	subcld 10392	. . 3 |- ( ph -> ( Q - M ) e. CC )
56	39, 44	subcld 10392	. . 3 |- ( ph -> ( P - M ) e. CC )
57	3, 44	subcld 10392	. . 3 |- ( ph -> ( B - M ) e. CC )
58	4, 44, 53	subne0d 10401	. . 3 |- ( ph -> ( Q - M ) =/= 0 )
59	19, 10	recne0d 10795	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) =/= 0 )
60	16, 15, 59, 50	mulne0d 10679	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) =/= 0 )
61	32, 60	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( ph -> ( B - M ) =/= 0 )
62	32, 46	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B - M ) / ( P - M ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) / ( ( ( 1 / 2 ) - X ) x. ( B - A ) ) ) )
63	14, 15, 49	mulne0bad 10682	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - X ) =/= 0 )
64	16, 14, 15, 63, 50	divcan5rd 10828	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) x. ( B - A ) ) / ( ( ( 1 / 2 ) - X ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) / ( ( 1 / 2 ) - X ) ) )
65	62, 64	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B - M ) / ( P - M ) ) = ( ( 1 / 2 ) / ( ( 1 / 2 ) - X ) ) )
66	11, 13, 63	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) / ( ( 1 / 2 ) - X ) ) e. RR )
67	65, 66	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( ( B - M ) / ( P - M ) ) e. RR )
68	1, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67	angrtmuld 24538	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Q - M ) F ( P - M ) ) e. { ( pi / 2 ) , -u ( pi / 2 ) } <-> ( ( Q - M ) F ( B - M ) ) e. { ( pi / 2 ) , -u ( pi / 2 ) } ) )
69	54, 68	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( ( Q - M ) F ( P - M ) ) e. { ( pi / 2 ) , -u ( pi / 2 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   Imcim 13838   abscabs 13974   picpi 14797   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  chordthmlem3  24561