Theorem cxplogb 24524

Description: Identity law for the general logarithm. (Contributed by AV, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cxplogb	|- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )

Proof of Theorem cxplogb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbval 24504	. . 3 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( B logb X ) = ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) )
2	1	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = ( B ^c ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) ) )
3		eldifi 3732	. . . 4 |- ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) -> B e. CC )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> B e. CC )
5		eldif 3584	. . . . 5 |- ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) <-> ( B e. CC /\ -. B e. { 0 , 1 } ) )
6		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
7	6	prid1 4297	. . . . . . . 8 |- 0 e. { 0 , 1 }
8		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( B = 0 -> ( B e. { 0 , 1 } <-> 0 e. { 0 , 1 } ) )
9	7, 8	mpbiri 248	. . . . . . 7 |- ( B = 0 -> B e. { 0 , 1 } )
10	9	necon3bi 2820	. . . . . 6 |- ( -. B e. { 0 , 1 } -> B =/= 0 )
11	10	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ -. B e. { 0 , 1 } ) -> B =/= 0 )
12	5, 11	sylbi 207	. . . 4 |- ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) -> B =/= 0 )
13	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> B =/= 0 )
14		eldif 3584	. . . . . . 7 |- ( X e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( X e. CC /\ -. X e. { 0 } ) )
15	6	snid 4208	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. { 0 }
16		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( X = 0 -> ( X e. { 0 } <-> 0 e. { 0 } ) )
17	15, 16	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( X = 0 -> X e. { 0 } )
18	17	necon3bi 2820	. . . . . . . 8 |- ( -. X e. { 0 } -> X =/= 0 )
19	18	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ -. X e. { 0 } ) -> ( X e. CC /\ X =/= 0 ) )
20	14, 19	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( X e. ( CC \ { 0 } ) -> ( X e. CC /\ X =/= 0 ) )
21		logcl 24315	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ X =/= 0 ) -> ( log ` X ) e. CC )
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 |- ( X e. ( CC \ { 0 } ) -> ( log ` X ) e. CC )
23	22	adantl 482	. . . 4 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log ` X ) e. CC )
24	10	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ -. B e. { 0 , 1 } ) -> ( B e. CC /\ B =/= 0 ) )
25	5, 24	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) -> ( B e. CC /\ B =/= 0 ) )
26		logcl 24315	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( log ` B ) e. CC )
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) -> ( log ` B ) e. CC )
28	27	adantr 481	. . . 4 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log ` B ) e. CC )
29		eldifpr 4204	. . . . . . 7 |- ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) <-> ( B e. CC /\ B =/= 0 /\ B =/= 1 ) )
30	29	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) -> ( B e. CC /\ B =/= 0 /\ B =/= 1 ) )
31	30	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( B e. CC /\ B =/= 0 /\ B =/= 1 ) )
32		logccne0 24325	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ B =/= 0 /\ B =/= 1 ) -> ( log ` B ) =/= 0 )
33	31, 32	syl 17	. . . 4 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log ` B ) =/= 0 )
34	23, 28, 33	divcld 10801	. . 3 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) e. CC )
35	4, 13, 34	cxpefd 24458	. 2 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( B ^c ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) ) = ( exp ` ( ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) x. ( log ` B ) ) ) )
36		eldifsn 4317	. . . . . . 7 |- ( X e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( X e. CC /\ X =/= 0 ) )
37	36, 21	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( X e. ( CC \ { 0 } ) -> ( log ` X ) e. CC )
38	37	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log ` X ) e. CC )
39	29, 32	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) -> ( log ` B ) =/= 0 )
40	39	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log ` B ) =/= 0 )
41	38, 28, 40	divcan1d 10802	. . . 4 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) x. ( log ` B ) ) = ( log ` X ) )
42	41	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( exp ` ( ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) x. ( log ` B ) ) ) = ( exp ` ( log ` X ) ) )
43		eflog 24323	. . . . 5 |- ( ( X e. CC /\ X =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` X ) ) = X )
44	36, 43	sylbi 207	. . . 4 |- ( X e. ( CC \ { 0 } ) -> ( exp ` ( log ` X ) ) = X )
45	44	adantl 482	. . 3 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( exp ` ( log ` X ) ) = X )
46	42, 45	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( exp ` ( ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) x. ( log ` B ) ) ) = X )
47	2, 35, 46	3eqtrd 2660	1 |- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ X e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( B ^c ( B logb X ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   / cdiv 10684   expce 14792   logclog 24301   ^c ccxp 24302   log_b clogb 24502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-logb 24503

This theorem is referenced by:  relogbcxpb  24525  fllogbd  42354  nnpw2blen  42374  dignn0ldlem  42396