Theorem vonioolem1 40894

Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonioolem1.x	|- ( ph -> X e. Fin )
vonioolem1.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
vonioolem1.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
vonioolem1.u	|- ( ph -> X =/= (/) )
vonioolem1.t	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
vonioolem1.c	|- C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
vonioolem1.d	|- D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
vonioolem1.s	|- S = ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )
vonioolem1.r	|- T = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
vonioolem1.e	|- E = inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < )
vonioolem1.n	|- N = ( ( |_ ` ( 1 / E ) ) + 1 )
vonioolem1.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )

Assertion

Ref	Expression
vonioolem1	|- ( ph -> S ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, k, n   C, k   S, n   T, n   k, X, n   k, Z, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   A( k)   C( n)   D( k, n)   S( k)   T( k)   E( k, n)   N( k, n)

Proof of Theorem vonioolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonioolem1.r	. . . . 5 |- T = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> T = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) ) )
3		vonioolem1.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
5		vonioolem1.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. Fin )
6	5	mptexd 6487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) e. _V )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) e. _V )
8	4, 7	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` n ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
9		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) e. _V )
10	8, 9	fvmpt2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) )
11	10	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) = ( ( B ` k ) - ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
12		vonioolem1.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B : X --> RR )
13	12	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
14	13	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
15	14	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. CC )
16		vonioolem1.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A : X --> RR )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : X --> RR )
18	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
19	18	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. CC )
20		nnrecre 11057	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. CC )
23	15, 19, 22	subsub4d 10423	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) - ( 1 / n ) ) = ( ( B ` k ) - ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
24	11, 23	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) = ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) - ( 1 / n ) ) )
25	24	prodeq2dv 14653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) - ( 1 / n ) ) )
26	25	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) ) = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) - ( 1 / n ) ) ) )
27	2, 26	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> T = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) - ( 1 / n ) ) ) )
28		nfv 1843	. . . 4 |- F/ k ph
29		rpssre 11843	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
30		vonioolem1.t	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
31	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
32		difrp 11868	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( ( A ` k ) < ( B ` k ) <-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. RR+ ) )
33	31, 13, 32	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) < ( B ` k ) <-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. RR+ ) )
34	30, 33	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. RR+ )
35	29, 34	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. RR )
36	35	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. CC )
37		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) - ( 1 / n ) ) ) = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) - ( 1 / n ) ) )
38	28, 5, 36, 37	fprodsubrecnncnv 40122	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) - ( 1 / n ) ) ) ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
39	27, 38	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> T ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
40		vonioolem1.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` N )
41		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
42	41	mptex 6486	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) ) e. _V
43	42	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) ) e. _V )
44	1, 43	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> T e. _V )
45		vonioolem1.s	. . . 4 |- S = ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )
46	41	mptex 6486	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) e. _V
47	46	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) e. _V )
48	45, 47	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> S e. _V )
49		vonioolem1.n	. . . 4 |- N = ( ( |_ ` ( 1 / E ) ) + 1 )
50		1rp 11836	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
53	28, 52, 34	rnmptssd 39385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) C_ RR+ )
54		vonioolem1.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < )
55		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> < Or RR )
57	52	rnmptfi 39351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. Fin -> ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) e. Fin )
58	5, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) e. Fin )
59		vonioolem1.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X =/= (/) )
60	28, 34, 52, 59	rnmptn0 39413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) =/= (/) )
61	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
62	53, 61	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) C_ RR )
63		fiinfcl 8407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( < Or RR /\ ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) e. Fin /\ ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) =/= (/) /\ ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) C_ RR ) ) -> inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) e. ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) )
64	56, 58, 60, 62, 63	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) e. ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) )
65	54, 64	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) )
66	53, 65	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. RR+ )
67	51, 66	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / E ) e. RR+ )
68	67	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / E ) e. RR )
69	67	rpge0d 11876	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / E ) )
70		flge0nn0 12621	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / E ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / E ) ) -> ( |_ ` ( 1 / E ) ) e. NN0 )
71	68, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( 1 / E ) ) e. NN0 )
72		nn0p1nn 11332	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` ( 1 / E ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( 1 / E ) ) + 1 ) e. NN )
73	71, 72	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( 1 / E ) ) + 1 ) e. NN )
74	73	nnzd 11481	. . . 4 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( 1 / E ) ) + 1 ) e. ZZ )
75	49, 74	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
76	49	recnnltrp 39593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E e. RR+ -> ( N e. NN /\ ( 1 / N ) < E ) )
77	66, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N e. NN /\ ( 1 / N ) < E ) )
78	77	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
79		uznnssnn 11735	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ZZ>= ` N ) C_ NN )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ZZ>= ` N ) C_ NN )
81	40, 80	syl5eqss 3649	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z C_ NN )
82	81	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> Z C_ NN )
83		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
84	82, 83	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. NN )
85		vonioolem1.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
87	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. Fin )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- dom (voln ` X ) = dom (voln ` X )
89	18, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
90		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) )
91	89, 90	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) : X --> RR )
92	8	feq1d 6030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( C ` n ) : X --> RR <-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) : X --> RR ) )
93	91, 92	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` n ) : X --> RR )
94	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B : X --> RR )
95	87, 88, 93, 94	hoimbl 40845	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom (voln ` X ) )
96	95	elexd 3214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. _V )
97	86, 96	fvmpt2d 6293	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
98	84, 97	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( D ` n ) = X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
99	98	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) = ( (voln ` X ) ` X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
100	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> X e. Fin )
101	59	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> X =/= (/) )
102	84, 93	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( C ` n ) : X --> RR )
103	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> B : X --> RR )
104		eqid 2622	. . . . . 6 |- X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) )
105	100, 101, 102, 103, 104	vonn0hoi 40884	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( (voln ` X ) ` X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
106	102	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) e. RR )
107	84, 14	syldanl 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
108		volico 40200	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C ` n ) ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = if ( ( ( C ` n ) ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) , 0 ) )
109	106, 107, 108	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = if ( ( ( C ` n ) ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) , 0 ) )
110	84, 10	syldanl 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) )
111	84, 21	syldanl 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. RR )
112	78	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR )
113	112	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( 1 / N ) e. RR )
114	35	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. RR )
115	40	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Z <-> n e. ( ZZ>= ` N ) )
116	115	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
117		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ n )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> N <_ n )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> N <_ n )
120	78	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. RR+ )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> N e. RR+ )
122		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
123	84, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. RR+ )
124	121, 123	lerecd 11891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( N <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( 1 / N ) ) )
125	119, 124	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( 1 / n ) <_ ( 1 / N ) )
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) <_ ( 1 / N ) )
127	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1 / N ) e. RR )
128	29, 66	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. RR )
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> E e. RR )
130	77	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 / N ) < E )
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1 / N ) < E )
132	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) C_ RR )
133	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) e. Fin )
134		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. X -> k e. X )
135		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. X -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. _V )
136	52	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. X /\ ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. _V ) -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) )
137	134, 135, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. X -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) )
138	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) )
139		infrefilb 39600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) C_ RR /\ ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) e. Fin /\ ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) ) -> inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) <_ ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
140	132, 133, 138, 139	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) <_ ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
141	54, 140	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> E <_ ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
142	127, 129, 35, 131, 141	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1 / N ) < ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
143	142	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( 1 / N ) < ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
144	111, 113, 114, 126, 143	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) < ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
145	84, 18	syldanl 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
146	145, 111, 107	ltaddsub2d 10628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) < ( B ` k ) <-> ( 1 / n ) < ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) )
147	144, 146	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) < ( B ` k ) )
148	110, 147	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) < ( B ` k ) )
149	148	iftrued 4094	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> if ( ( ( C ` n ) ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) , 0 ) = ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
150	109, 149	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
151	150	prodeq2dv 14653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
152	99, 105, 151	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
153		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) e. _V )
154	45	fvmpt2 6291	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) e. _V ) -> ( S ` n ) = ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )
155	84, 153, 154	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( S ` n ) = ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )
156		prodex 14637	. . . . . 6 |- prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) e. _V
157	156	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) e. _V )
158	1	fvmpt2 6291	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) e. _V ) -> ( T ` n ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
159	84, 157, 158	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( T ` n ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
160	152, 155, 159	3eqtr4rd 2667	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( T ` n ) = ( S ` n ) )
161	40, 44, 48, 75, 160	climeq 14298	. 2 |- ( ph -> ( T ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) <-> S ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) )
162	39, 161	mpbid 222	1 |- ( ph -> S ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   |_cfl 12591   ~~> cli 14215   prod_cprod 14635   volcvol 23232  volncvoln 40752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753

This theorem is referenced by:  vonioolem2  40895