Theorem ftc1lem4 23802

Description: Lemma for ftc1 23805. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	|- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
ftc1.a	|- ( ph -> A e. RR )
ftc1.b	|- ( ph -> B e. RR )
ftc1.le	|- ( ph -> A <_ B )
ftc1.s	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ D )
ftc1.d	|- ( ph -> D C_ RR )
ftc1.i	|- ( ph -> F e. L^1 )
ftc1.c	|- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )
ftc1.f	|- ( ph -> F e. ( ( K CnP L ) ` C ) )
ftc1.j	|- J = ( L ↾t RR )
ftc1.k	|- K = ( L ↾t D )
ftc1.l	|- L = ( TopOpen ` ℂfld )
ftc1.h	|- H = ( z e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
ftc1.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
ftc1.r	|- ( ph -> R e. RR+ )
ftc1.fc	|- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( abs ` ( y - C ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < E ) )
ftc1.x1	|- ( ph -> X e. ( A [,] B ) )
ftc1.x2	|- ( ph -> ( abs ` ( X - C ) ) < R )
ftc1.y1	|- ( ph -> Y e. ( A [,] B ) )
ftc1.y2	|- ( ph -> ( abs ` ( Y - C ) ) < R )

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem4	|- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` C ) ) ) < E )

Distinct variable groups:   x, t, y, z, C   t, D, x, y, z   y, G, z   t, A, x, y, z   t, B, x, y, z   t, X, x, z   t, E, y   y, H   ph, t, x, y, z   t, Y, x   t, F, x, y, z   x, L, y, z   y, R

Allowed substitution hints:   R( x, z, t)   E( x, z)   G( x, t)   H( x, z, t)   J( x, y, z, t)   K( x, y, z, t)   L( t)   X( y)   Y( y, z)

Proof of Theorem ftc1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR )
2		ftc1.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR )
3		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
5		ftc1.x1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. ( A [,] B ) )
6	4, 5	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. RR )
7		ftc1.y1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. ( A [,] B ) )
8	4, 7	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
9		ltle 10126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X < Y -> X <_ Y ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X < Y -> X <_ Y ) )
11	10	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> X <_ Y )
12		ftc1.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
13		ftc1.le	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A <_ B )
14		ftc1.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ D )
15		ftc1.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D C_ RR )
16		ftc1.i	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. L^1 )
17		ftc1.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )
18		ftc1.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. ( ( K CnP L ) ` C ) )
19		ftc1.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( L ↾t RR )
20		ftc1.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( L ↾t D )
21		ftc1.l	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( TopOpen ` ℂfld )
22	12, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ftc1lem3 23801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : D --> CC )
23	12, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 22, 5, 7	ftc1lem1 23798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X <_ Y ) -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t )
24	11, 23	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t )
25	1	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. RR* )
26		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( X e. ( A [,] B ) <-> ( X e. RR /\ A <_ X /\ X <_ B ) ) )
27	1, 2, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( X e. ( A [,] B ) <-> ( X e. RR /\ A <_ X /\ X <_ B ) ) )
28	5, 27	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( X e. RR /\ A <_ X /\ X <_ B ) )
29	28	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A <_ X )
30		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ X ) -> ( X (,) Y ) C_ ( A (,) Y ) )
31	25, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ ( A (,) Y ) )
32	2	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. RR* )
33		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( Y e. ( A [,] B ) <-> ( Y e. RR /\ A <_ Y /\ Y <_ B ) ) )
34	1, 2, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Y e. ( A [,] B ) <-> ( Y e. RR /\ A <_ Y /\ Y <_ B ) ) )
35	7, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ A <_ Y /\ Y <_ B ) )
36	35	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Y <_ B )
37		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR* /\ Y <_ B ) -> ( A (,) Y ) C_ ( A (,) B ) )
38	32, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A (,) Y ) C_ ( A (,) B ) )
39	31, 38	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ ( A (,) B ) )
40	39, 14	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ D )
41	40	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> t e. D )
42	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( F ` t ) e. CC )
43	41, 42	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
44	14, 17	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. D )
45	22, 44	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
47	43, 46	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) + ( F ` C ) ) = ( F ` t ) )
48	47	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) + ( F ` C ) ) _d t = S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t )
49	43, 46	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) e. CC )
50		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X (,) Y ) e. dom vol
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X (,) Y ) e. dom vol )
52		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( F ` t ) e. _V )
53	22	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F = ( t e. D |-> ( F ` t ) ) )
54	53, 16	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. D |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
55	40, 51, 52, 54	iblss 23571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
56		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X (,) Y ) X. { ( F ` C ) } ) = ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` C ) )
57		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X (,) Y ) e. dom vol -> ( vol ` ( X (,) Y ) ) = ( vol* ` ( X (,) Y ) ) )
58	50, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( X (,) Y ) ) = ( vol* ` ( X (,) Y ) )
59		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) )
61		iccmbl 23334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X [,] Y ) e. dom vol )
62	6, 8, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X [,] Y ) e. dom vol )
63		mblss 23299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X [,] Y ) e. dom vol -> ( X [,] Y ) C_ RR )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
65		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X [,] Y ) e. dom vol -> ( vol ` ( X [,] Y ) ) = ( vol* ` ( X [,] Y ) ) )
66	62, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( vol ` ( X [,] Y ) ) = ( vol* ` ( X [,] Y ) ) )
67		iccvolcl 23335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( vol ` ( X [,] Y ) ) e. RR )
68	6, 8, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( vol ` ( X [,] Y ) ) e. RR )
69	66, 68	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( vol* ` ( X [,] Y ) ) e. RR )
70		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) /\ ( X [,] Y ) C_ RR /\ ( vol* ` ( X [,] Y ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( X (,) Y ) ) e. RR )
71	60, 64, 69, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( vol* ` ( X (,) Y ) ) e. RR )
72	58, 71	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR )
73		iblconst 23584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR /\ ( F ` C ) e. CC ) -> ( ( X (,) Y ) X. { ( F ` C ) } ) e. L^1 )
74	51, 72, 45, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( X (,) Y ) X. { ( F ` C ) } ) e. L^1 )
75	56, 74	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` C ) ) e. L^1 )
76	43, 55, 46, 75	iblsub 23588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) e. L^1 )
77	49, 76, 46, 75	itgadd 23591	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) + ( F ` C ) ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t + S. ( X (,) Y ) ( F ` C ) _d t ) )
78	48, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t + S. ( X (,) Y ) ( F ` C ) _d t ) )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t + S. ( X (,) Y ) ( F ` C ) _d t ) )
80		itgconst 23585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR /\ ( F ` C ) e. CC ) -> S. ( X (,) Y ) ( F ` C ) _d t = ( ( F ` C ) x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
81	51, 72, 45, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( F ` C ) _d t = ( ( F ` C ) x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( F ` C ) _d t = ( ( F ` C ) x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
83	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> X e. RR )
84	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> Y e. RR )
85		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR /\ X <_ Y ) -> ( vol* ` ( X (,) Y ) ) = ( Y - X ) )
86	83, 84, 11, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( vol* ` ( X (,) Y ) ) = ( Y - X ) )
87	58, 86	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( vol ` ( X (,) Y ) ) = ( Y - X ) )
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( F ` C ) x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) = ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) )
89	82, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( F ` C ) _d t = ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) )
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t + S. ( X (,) Y ) ( F ` C ) _d t ) = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t + ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) ) )
91	24, 79, 90	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t + ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) ) )
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) = ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t + ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) ) / ( Y - X ) ) )
93		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) e. _V )
94	93, 76	itgcl 23550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t e. CC )
95	94	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t e. CC )
96	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( F ` C ) e. CC )
97	8, 6	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y - X ) e. RR )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( Y - X ) e. RR )
99	98	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( Y - X ) e. CC )
100	96, 99	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) e. CC )
101	6, 8	posdifd 10614	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X < Y <-> 0 < ( Y - X ) ) )
102	101	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> 0 < ( Y - X ) )
103	102	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( Y - X ) =/= 0 )
104	95, 100, 99, 103	divdird 10839	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t + ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) ) / ( Y - X ) ) = ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) / ( Y - X ) ) ) )
105	96, 99, 103	divcan4d 10807	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) / ( Y - X ) ) = ( F ` C ) )
106	105	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( Y - X ) ) / ( Y - X ) ) ) = ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( F ` C ) ) )
107	92, 104, 106	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) = ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( F ` C ) ) )
108	107	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` C ) ) = ( ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( F ` C ) ) - ( F ` C ) ) )
109	95, 99, 103	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) e. CC )
110	109, 96	pncand 10393	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( F ` C ) ) - ( F ` C ) ) = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) )
111	108, 110	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` C ) ) = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) )
112	111	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` C ) ) ) = ( abs ` ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) ) )
113	95, 99, 103	absdivd 14194	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t / ( Y - X ) ) ) = ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) / ( abs ` ( Y - X ) ) ) )
114		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
115		ltle 10126	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ ( Y - X ) e. RR ) -> ( 0 < ( Y - X ) -> 0 <_ ( Y - X ) ) )
116	114, 98, 115	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( 0 < ( Y - X ) -> 0 <_ ( Y - X ) ) )
117	102, 116	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> 0 <_ ( Y - X ) )
118	98, 117	absidd 14161	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( Y - X ) ) = ( Y - X ) )
119	118	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) / ( abs ` ( Y - X ) ) ) = ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) )
120	112, 113, 119	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` C ) ) ) = ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) )
121	94	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) e. RR )
122	121	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) e. RR )
123	49	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) e. RR )
124	93, 76	iblabs 23595	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) e. L^1 )
125	123, 124	itgrecl 23564	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t e. RR )
126	125	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t e. RR )
127		ftc1.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
128	127	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
129	97, 128	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Y - X ) x. E ) e. RR )
130	129	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( Y - X ) x. E ) e. RR )
131	49, 76	itgabs 23601	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) <_ S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t )
132	131	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) <_ S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t )
133	102, 87	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> 0 < ( vol ` ( X (,) Y ) ) )
134	128	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> E e. RR )
135		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X (,) Y ) X. { E } ) = ( t e. ( X (,) Y ) |-> E )
136	128	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. CC )
137		iblconst 23584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR /\ E e. CC ) -> ( ( X (,) Y ) X. { E } ) e. L^1 )
138	51, 72, 136, 137	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X (,) Y ) X. { E } ) e. L^1 )
139	135, 138	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. L^1 )
140	134, 139, 123, 124	iblsub 23588	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) ) e. L^1 )
141	140	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) ) e. L^1 )
142		ftc1.fc	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( abs ` ( y - C ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < E ) )
143	142	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < E ) )
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < E ) )
145	15, 44	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. RR )
146		ftc1.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> R e. RR+ )
147	146	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. RR )
148	145, 147	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C - R ) e. RR )
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( C - R ) e. RR )
150	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> X e. RR )
151	40, 15	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ RR )
152	151	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> t e. RR )
153		ftc1.x2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( X - C ) ) < R )
154	6, 145, 147	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( X - C ) ) < R <-> ( ( C - R ) < X /\ X < ( C + R ) ) ) )
155	153, 154	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C - R ) < X /\ X < ( C + R ) ) )
156	155	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C - R ) < X )
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( C - R ) < X )
158		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( X (,) Y ) -> ( X < t /\ t < Y ) )
159	158	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( X < t /\ t < Y ) )
160	159	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> X < t )
161	149, 150, 152, 157, 160	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( C - R ) < t )
162	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> Y e. RR )
163	145, 147	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C + R ) e. RR )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( C + R ) e. RR )
165	159	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> t < Y )
166		ftc1.y2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( Y - C ) ) < R )
167	8, 145, 147	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Y - C ) ) < R <-> ( ( C - R ) < Y /\ Y < ( C + R ) ) ) )
168	166, 167	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C - R ) < Y /\ Y < ( C + R ) ) )
169	168	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y < ( C + R ) )
170	169	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> Y < ( C + R ) )
171	152, 162, 164, 165, 170	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> t < ( C + R ) )
172	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> C e. RR )
173	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> R e. RR )
174	152, 172, 173	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( abs ` ( t - C ) ) < R <-> ( ( C - R ) < t /\ t < ( C + R ) ) ) )
175	161, 171, 174	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( abs ` ( t - C ) ) < R )
176		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = t -> ( y - C ) = ( t - C ) )
177	176	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = t -> ( abs ` ( y - C ) ) = ( abs ` ( t - C ) ) )
178	177	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = t -> ( ( abs ` ( y - C ) ) < R <-> ( abs ` ( t - C ) ) < R ) )
179		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = t -> ( F ` y ) = ( F ` t ) )
180	179	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = t -> ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) = ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) )
181	180	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = t -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) )
182	181	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = t -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < E <-> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) < E ) )
183	178, 182	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = t -> ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < E ) <-> ( ( abs ` ( t - C ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) < E ) ) )
184	183	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. D -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < E ) -> ( ( abs ` ( t - C ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) < E ) ) )
185	41, 144, 175, 184	syl3c 66	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) < E )
186		difrp 11868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) e. RR /\ E e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) < E <-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) e. RR+ ) )
187	123, 134, 186	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) < E <-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) e. RR+ ) )
188	185, 187	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) e. RR+ )
189	188	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X < Y ) /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) e. RR+ )
190	133, 141, 189	itggt0 23608	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> 0 < S. ( X (,) Y ) ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) _d t )
191	134, 139, 123, 124	itgsub 23592	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) E _d t - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t ) )
192	191	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) E _d t - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t ) )
193		itgconst 23585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR /\ E e. CC ) -> S. ( X (,) Y ) E _d t = ( E x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
194	51, 72, 136, 193	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) E _d t = ( E x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
195	194	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) E _d t = ( E x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
196	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( E x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) = ( E x. ( Y - X ) ) )
197	97	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y - X ) e. CC )
198	136, 197	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E x. ( Y - X ) ) = ( ( Y - X ) x. E ) )
199	198	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( E x. ( Y - X ) ) = ( ( Y - X ) x. E ) )
200	195, 196, 199	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) E _d t = ( ( Y - X ) x. E ) )
201	200	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( S. ( X (,) Y ) E _d t - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t ) = ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t ) )
202	192, 201	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) ) _d t = ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t ) )
203	190, 202	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> 0 < ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t ) )
204	125, 129	posdifd 10614	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t < ( ( Y - X ) x. E ) <-> 0 < ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t ) ) )
205	204	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t ) ) -> S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t < ( ( Y - X ) x. E ) )
206	203, 205	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) ) _d t < ( ( Y - X ) x. E ) )
207	122, 126, 130, 132, 206	lelttrd 10195	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) < ( ( Y - X ) x. E ) )
208	95	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) e. RR )
209	128	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> E e. RR )
210		ltdivmul 10898	. . . 4 |- ( ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) e. RR /\ E e. RR /\ ( ( Y - X ) e. RR /\ 0 < ( Y - X ) ) ) -> ( ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) < E <-> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) < ( ( Y - X ) x. E ) ) )
211	208, 209, 98, 102, 210	syl112anc 1330	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) < E <-> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) < ( ( Y - X ) x. E ) ) )
212	207, 211	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` C ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) < E )
213	120, 212	eqbrtrd 4675	1 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` C ) ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   CnP ccnp 21029   vol*covol 23231   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ftc1lem5  23803