Theorem dvfsumlem4 23792

Description: Lemma for dvfsumrlim 23794. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
dvfsumlem4.g	|- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
dvfsumlem4.0	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ U ) ) -> 0 <_ B )
dvfsumlem4.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsumlem4.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsumlem4.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsumlem4.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsumlem4.5	|- ( ph -> Y <_ U )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem4	|- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) <_ [_ X / x ]_ B )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   k, Y, x   x, Z   U, k, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   G( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem4

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsumlem4.2	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. S )
2		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) e. Fin )
3		dvfsum.b2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
4	3	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. Z B e. RR )
5		elfzuz 12338	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
6		dvfsum.z	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
7	5, 6	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -> k e. Z )
8		dvfsum.c	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = C )
9	8	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. RR <-> C e. RR ) )
10	9	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. Z B e. RR /\ k e. Z ) -> C e. RR )
11	4, 7, 10	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) ) -> C e. RR )
12	2, 11	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C e. RR )
13		dvfsum.a	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
14	13	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. S A e. RR )
15		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ x [_ Y / x ]_ A
16	15	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ Y / x ]_ A e. RR
17		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> A = [_ Y / x ]_ A )
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( A e. RR <-> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
19	16, 18	rspc 3303	. . . . . . 7 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S A e. RR -> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
20	1, 14, 19	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. RR )
21	12, 20	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
22		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x Y
23		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C
24		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x -
25	23, 24, 15	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` Y ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` Y ) ) )
28	27	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
29	28, 17	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
30		dvfsumlem4.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
31	22, 25, 29, 30	fvmptf 6301	. . . . 5 |- ( ( Y e. S /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. RR ) -> ( G ` Y ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
32	1, 21, 31	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` Y ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
33		dvfsumlem4.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. S )
34		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
35		elfzuz 12338	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
36	35, 6	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
37	4, 36, 10	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. RR )
38	34, 37	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. RR )
39		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ x [_ X / x ]_ A
40	39	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ X / x ]_ A e. RR
41		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> A = [_ X / x ]_ A )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( A e. RR <-> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
43	40, 42	rspc 3303	. . . . . . 7 |- ( X e. S -> ( A. x e. S A e. RR -> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
44	33, 14, 43	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. RR )
45	38, 44	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
46		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x X
47		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C
48	47, 24, 39	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` X ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
51	50	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( x = X -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
52	51, 41	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
53	46, 48, 52, 30	fvmptf 6301	. . . . 5 |- ( ( X e. S /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. RR ) -> ( G ` X ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
54	33, 45, 53	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` X ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
55	32, 54	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
56	55	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
57		dvfsum.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( T (,) +oo )
58		ioossre 12235	. . . . . . . . . . 11 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
59	57, 58	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- S C_ RR
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ RR )
61		dvfsum.b1	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
62		dvfsum.b3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
63	60, 13, 61, 62	dvmptrecl 23787	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
64	63	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. S B e. RR )
65		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ m B e. RR
66		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ x [_ m / x ]_ B
67	66	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ m / x ]_ B e. RR
68		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( x = m -> B = [_ m / x ]_ B )
69	68	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = m -> ( B e. RR <-> [_ m / x ]_ B e. RR ) )
70	65, 67, 69	cbvral 3167	. . . . . . 7 |- ( A. x e. S B e. RR <-> A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR )
71	64, 70	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR )
72		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 |- ( m = X -> [_ m / x ]_ B = [_ X / x ]_ B )
73	72	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( m = X -> ( [_ m / x ]_ B e. RR <-> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
74	73	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( X e. S -> ( A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR -> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
75	33, 71, 74	sylc 65	. . . . 5 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. RR )
76	45, 75	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) e. RR )
77	59, 33	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
78		reflcl 12597	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
80	77, 79	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. RR )
81	80, 75	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
82	81, 45	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
83	82, 75	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) e. RR )
84		fracge0 12605	. . . . . . . 8 |- ( X e. RR -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
85	77, 84	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
86		dvfsumlem4.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D <_ X )
87	77	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. RR* )
88	59, 1	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. RR )
89	88	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR* )
90		dvfsum.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. RR* )
91		dvfsumlem4.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X <_ Y )
92		dvfsumlem4.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y <_ U )
93	87, 89, 90, 91, 92	xrletrd 11993	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X <_ U )
94	33, 86, 93	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X e. S /\ D <_ X /\ X <_ U ) )
95		simpr1 1067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ D <_ X /\ X <_ U ) ) -> X e. S )
96		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph /\ ( X e. S /\ D <_ X /\ X <_ U ) )
97		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x 0
98		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x <_
99		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ X / x ]_ B
100	97, 98, 99	nfbr 4699	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x 0 <_ [_ X / x ]_ B
101	96, 100	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( ph /\ ( X e. S /\ D <_ X /\ X <_ U ) ) -> 0 <_ [_ X / x ]_ B )
102		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( x e. S <-> X e. S ) )
103		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( D <_ x <-> D <_ X ) )
104		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( x <_ U <-> X <_ U ) )
105	102, 103, 104	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ U ) <-> ( X e. S /\ D <_ X /\ X <_ U ) ) )
106	105	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( X e. S /\ D <_ X /\ X <_ U ) ) ) )
107		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> B = [_ X / x ]_ B )
108	107	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) )
109	106, 108	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ U ) ) -> 0 <_ B ) <-> ( ( ph /\ ( X e. S /\ D <_ X /\ X <_ U ) ) -> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
110		dvfsumlem4.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ U ) ) -> 0 <_ B )
111	101, 109, 110	vtoclg1f 3265	. . . . . . . . 9 |- ( X e. S -> ( ( ph /\ ( X e. S /\ D <_ X /\ X <_ U ) ) -> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) )
112	95, 111	mpcom 38	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ D <_ X /\ X <_ U ) ) -> 0 <_ [_ X / x ]_ B )
113	94, 112	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ [_ X / x ]_ B )
114	80, 75, 85, 113	mulge0d 10604	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
115	45, 81	addge02d 10616	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
116	114, 115	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
117	45, 82, 75, 116	lesub1dd 10643	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) )
118		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. RR -> ( |_ ` Y ) e. RR )
119	88, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. RR )
120	88, 119	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) e. RR )
121		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = Y -> [_ m / x ]_ B = [_ Y / x ]_ B )
122	121	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( m = Y -> ( [_ m / x ]_ B e. RR <-> [_ Y / x ]_ B e. RR ) )
123	122	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. S -> ( A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR -> [_ Y / x ]_ B e. RR ) )
124	1, 71, 123	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. RR )
125	120, 124	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
126	125, 21	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
127	126, 124	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
128		dvfsum.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
129		dvfsum.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. RR )
130		dvfsum.md	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
131		dvfsum.t	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. RR )
132		dvfsum.l	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
133		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
134	57, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92	dvfsumlem3 23791	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` Y ) <_ ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` X ) /\ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )
135	134	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) )
136		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X - ( |_ ` X ) )
137		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x x.
138	136, 137, 99	nfov 6676	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B )
139		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x +
140	138, 139, 48	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
141		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> x = X )
142	141, 49	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( X - ( |_ ` X ) ) )
143	142, 107	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) = ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
144	143, 52	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
145	46, 140, 144, 133	fvmptf 6301	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. S /\ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. RR ) -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` X ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
146	33, 82, 145	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` X ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
147	146	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) )
148		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( Y - ( |_ ` Y ) )
149		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ Y / x ]_ B
150	148, 137, 149	nfov 6676	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B )
151	150, 139, 25	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
152		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Y -> x = Y )
153	152, 26	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
154		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> B = [_ Y / x ]_ B )
155	153, 154	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) = ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
156	155, 29	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
157	22, 151, 156, 133	fvmptf 6301	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. S /\ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR ) -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
158	1, 126, 157	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
159	158	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - [_ Y / x ]_ B ) )
160	135, 147, 159	3brtr3d 4684	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - [_ Y / x ]_ B ) )
161	21	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
162	124	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
163	125	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
164	161, 162, 163	subsub3d 10422	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( [_ Y / x ]_ B - ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) ) = ( ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) - [_ Y / x ]_ B ) )
165	161, 163	addcomd 10238	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
166	165	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) - [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - [_ Y / x ]_ B ) )
167	164, 166	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( [_ Y / x ]_ B - ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - [_ Y / x ]_ B ) )
168		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
169	129, 77, 88, 86, 91	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D <_ Y )
170	1, 169, 92	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y e. S /\ D <_ Y /\ Y <_ U ) )
171		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. S /\ D <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> Y e. S )
172		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ph /\ ( Y e. S /\ D <_ Y /\ Y <_ U ) )
173	97, 98, 149	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x 0 <_ [_ Y / x ]_ B
174	172, 173	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ph /\ ( Y e. S /\ D <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> 0 <_ [_ Y / x ]_ B )
175		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = Y -> ( x e. S <-> Y e. S ) )
176		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = Y -> ( D <_ x <-> D <_ Y ) )
177		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = Y -> ( x <_ U <-> Y <_ U ) )
178	175, 176, 177	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> ( ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ U ) <-> ( Y e. S /\ D <_ Y /\ Y <_ U ) ) )
179	178	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( Y e. S /\ D <_ Y /\ Y <_ U ) ) ) )
180	154	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ Y / x ]_ B ) )
181	179, 180	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Y -> ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ U ) ) -> 0 <_ B ) <-> ( ( ph /\ ( Y e. S /\ D <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> 0 <_ [_ Y / x ]_ B ) ) )
182	174, 181, 110	vtoclg1f 3265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. S -> ( ( ph /\ ( Y e. S /\ D <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> 0 <_ [_ Y / x ]_ B ) )
183	171, 182	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. S /\ D <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> 0 <_ [_ Y / x ]_ B )
184	170, 183	mpdan 702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ [_ Y / x ]_ B )
185		fracle1 12604	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. RR -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) <_ 1 )
186	88, 185	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) <_ 1 )
187	120, 168, 124, 184, 186	lemul1ad 10963	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) )
188	162	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) = [_ Y / x ]_ B )
189	187, 188	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ [_ Y / x ]_ B )
190	124, 125	subge0d 10617	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 <_ ( [_ Y / x ]_ B - ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) <-> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ [_ Y / x ]_ B ) )
191	189, 190	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( [_ Y / x ]_ B - ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
192	124, 125	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B - ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) e. RR )
193	21, 192	subge02d 10619	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ ( [_ Y / x ]_ B - ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) <-> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( [_ Y / x ]_ B - ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
194	191, 193	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( [_ Y / x ]_ B - ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
195	167, 194	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - [_ Y / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
196	83, 127, 21, 160, 195	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
197	76, 83, 21, 117, 196	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
198	75, 45	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
199		fracge0 12605	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. RR -> 0 <_ ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
200	88, 199	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
201	120, 124, 200, 184	mulge0d 10604	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
202	21, 125	addge02d 10616	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) <-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
203	201, 202	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
204	134	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` Y ) <_ ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) ) ` X ) )
205	204, 158, 146	3brtr3d 4684	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
206	21, 126, 82, 203, 205	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
207		fracle1 12604	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( X - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
208	77, 207	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
209	80, 168, 75, 113, 208	lemul1ad 10963	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) )
210	75	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. CC )
211	210	mulid2d 10058	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) = [_ X / x ]_ B )
212	209, 211	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ [_ X / x ]_ B )
213	81, 75, 45, 212	leadd1dd 10641	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
214	21, 82, 198, 206, 213	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
215	45	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. CC )
216	210, 215	addcomd 10238	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) + [_ X / x ]_ B ) )
217	214, 216	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) + [_ X / x ]_ B ) )
218	21, 45, 75	absdifled 14173	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) <_ [_ X / x ]_ B <-> ( ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) + [_ X / x ]_ B ) ) ) )
219	197, 217, 218	mpbir2and 957	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) <_ [_ X / x ]_ B )
220	56, 219	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) <_ [_ X / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   sum_csu 14416   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  23794  dvfsumrlim2  23795  logexprlim  24950