Theorem dvmptmulf 40152

Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 23724 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptmulf.ph	|- F/ x ph
dvmptmulf.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptmulf.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptmulf.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
dvmptmulf.ab	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptmulf.c	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
dvmptmulf.d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
dvmptmulf.cd	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptmulf	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, V   x, W   x, X

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)   S( x)

Proof of Theorem dvmptmulf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y ( A x. C )
2		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
3		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x x.
4		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 |- F/_ x [_ y / x ]_ C
5	2, 3, 4	nfov 6676	. . . . 5 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ A x. [_ y / x ]_ C )
6		csbeq1a 3542	. . . . . 6 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
7		csbeq1a 3542	. . . . . 6 |- ( x = y -> C = [_ y / x ]_ C )
8	6, 7	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A x. C ) = ( [_ y / x ]_ A x. [_ y / x ]_ C ) )
9	1, 5, 8	cbvmpt 4749	. . . 4 |- ( x e. X |-> ( A x. C ) ) = ( y e. X |-> ( [_ y / x ]_ A x. [_ y / x ]_ C ) )
10	9	oveq2i 6661	. . 3 |- ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) = ( S _D ( y e. X |-> ( [_ y / x ]_ A x. [_ y / x ]_ C ) ) )
11	10	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) = ( S _D ( y e. X |-> ( [_ y / x ]_ A x. [_ y / x ]_ C ) ) ) )
12		dvmptmulf.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
13		dvmptmulf.ph	. . . . . 6 |- F/ x ph
14		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x y e. X
15	13, 14	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ y e. X )
16	2	nfel1 2779	. . . . 5 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. CC
17	15, 16	nfim 1825	. . . 4 |- F/ x ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
18		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. X <-> y e. X ) )
19	18	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. X ) <-> ( ph /\ y e. X ) ) )
20	6	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A e. CC <-> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
21	19, 20	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ A e. CC ) ) )
22		dvmptmulf.a	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
23	17, 21, 22	chvar 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
24		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x y
25	24	nfcsb1 3548	. . . . . 6 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
26		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x V
27	25, 26	nfel 2777	. . . . 5 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. V
28	15, 27	nfim 1825	. . . 4 |- F/ x ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ B e. V )
29		csbeq1a 3542	. . . . . 6 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
30	29	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B e. V <-> [_ y / x ]_ B e. V ) )
31	19, 30	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V ) <-> ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ B e. V ) ) )
32		dvmptmulf.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
33	28, 31, 32	chvar 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ B e. V )
34		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y A
35		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ A = [_ x / y ]_ [_ y / x ]_ A )
36		csbco 3543	. . . . . . . . . 10 |- [_ x / y ]_ [_ y / x ]_ A = [_ x / x ]_ A
37		csbid 3541	. . . . . . . . . 10 |- [_ x / x ]_ A = A
38	36, 37	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- [_ x / y ]_ [_ y / x ]_ A = A
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> [_ x / y ]_ [_ y / x ]_ A = A )
40	35, 39	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ A = A )
41	2, 34, 40	cbvmpt 4749	. . . . . 6 |- ( y e. X |-> [_ y / x ]_ A ) = ( x e. X |-> A )
42	41	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( S _D ( y e. X |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> A ) )
43	42	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( y e. X |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> A ) ) )
44		dvmptmulf.ab	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
45		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y B
46	45, 25, 29	cbvmpt 4749	. . . . 5 |- ( x e. X |-> B ) = ( y e. X |-> [_ y / x ]_ B )
47	46	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) = ( y e. X |-> [_ y / x ]_ B ) )
48	43, 44, 47	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( y e. X |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. X |-> [_ y / x ]_ B ) )
49	4	nfel1 2779	. . . . 5 |- F/ x [_ y / x ]_ C e. CC
50	15, 49	nfim 1825	. . . 4 |- F/ x ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ C e. CC )
51	7	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = y -> ( C e. CC <-> [_ y / x ]_ C e. CC ) )
52	19, 51	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ C e. CC ) ) )
53		dvmptmulf.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
54	50, 52, 53	chvar 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ C e. CC )
55	24	nfcsb1 3548	. . . . . 6 |- F/_ x [_ y / x ]_ D
56		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x W
57	55, 56	nfel 2777	. . . . 5 |- F/ x [_ y / x ]_ D e. W
58	15, 57	nfim 1825	. . . 4 |- F/ x ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ D e. W )
59		csbeq1a 3542	. . . . . 6 |- ( x = y -> D = [_ y / x ]_ D )
60	59	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = y -> ( D e. W <-> [_ y / x ]_ D e. W ) )
61	19, 60	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W ) <-> ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ D e. W ) ) )
62		dvmptmulf.d	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
63	58, 61, 62	chvar 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> [_ y / x ]_ D e. W )
64		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y C
65		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y <-> y = x )
66	65	imbi1i 339	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = y -> C = [_ y / x ]_ C ) <-> ( y = x -> C = [_ y / x ]_ C ) )
67		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( C = [_ y / x ]_ C <-> [_ y / x ]_ C = C )
68	67	imbi2i 326	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = x -> C = [_ y / x ]_ C ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ C = C ) )
69	66, 68	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> C = [_ y / x ]_ C ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ C = C ) )
70	7, 69	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ C = C )
71	4, 64, 70	cbvmpt 4749	. . . . . 6 |- ( y e. X |-> [_ y / x ]_ C ) = ( x e. X |-> C )
72	71	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( S _D ( y e. X |-> [_ y / x ]_ C ) ) = ( S _D ( x e. X |-> C ) )
73	72	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( y e. X |-> [_ y / x ]_ C ) ) = ( S _D ( x e. X |-> C ) ) )
74		dvmptmulf.cd	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )
75		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y D
76	75, 55, 59	cbvmpt 4749	. . . . 5 |- ( x e. X |-> D ) = ( y e. X |-> [_ y / x ]_ D )
77	76	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> D ) = ( y e. X |-> [_ y / x ]_ D ) )
78	73, 74, 77	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( y e. X |-> [_ y / x ]_ C ) ) = ( y e. X |-> [_ y / x ]_ D ) )
79	12, 23, 33, 48, 54, 63, 78	dvmptmul 23724	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( y e. X |-> ( [_ y / x ]_ A x. [_ y / x ]_ C ) ) ) = ( y e. X |-> ( ( [_ y / x ]_ B x. [_ y / x ]_ C ) + ( [_ y / x ]_ D x. [_ y / x ]_ A ) ) ) )
80	25, 3, 4	nfov 6676	. . . . 5 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ B x. [_ y / x ]_ C )
81		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x +
82	55, 3, 2	nfov 6676	. . . . 5 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ D x. [_ y / x ]_ A )
83	80, 81, 82	nfov 6676	. . . 4 |- F/_ x ( ( [_ y / x ]_ B x. [_ y / x ]_ C ) + ( [_ y / x ]_ D x. [_ y / x ]_ A ) )
84		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y ( ( B x. C ) + ( D x. A ) )
85	65	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B ) <-> ( y = x -> B = [_ y / x ]_ B ) )
86		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( B = [_ y / x ]_ B <-> [_ y / x ]_ B = B )
87	86	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( y = x -> B = [_ y / x ]_ B ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B ) )
88	85, 87	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B ) )
89	29, 88	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
90	89, 70	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( y = x -> ( [_ y / x ]_ B x. [_ y / x ]_ C ) = ( B x. C ) )
91	65	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> D = [_ y / x ]_ D ) <-> ( y = x -> D = [_ y / x ]_ D ) )
92		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( D = [_ y / x ]_ D <-> [_ y / x ]_ D = D )
93	92	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( y = x -> D = [_ y / x ]_ D ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ D = D ) )
94	91, 93	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> D = [_ y / x ]_ D ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ D = D ) )
95	59, 94	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ D = D )
96	95, 40	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( y = x -> ( [_ y / x ]_ D x. [_ y / x ]_ A ) = ( D x. A ) )
97	90, 96	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( [_ y / x ]_ B x. [_ y / x ]_ C ) + ( [_ y / x ]_ D x. [_ y / x ]_ A ) ) = ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) )
98	83, 84, 97	cbvmpt 4749	. . 3 |- ( y e. X |-> ( ( [_ y / x ]_ B x. [_ y / x ]_ C ) + ( [_ y / x ]_ D x. [_ y / x ]_ A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) )
99	98	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( y e. X |-> ( ( [_ y / x ]_ B x. [_ y / x ]_ C ) + ( [_ y / x ]_ D x. [_ y / x ]_ A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )
100	11, 79, 99	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   [_csb 3533   {cpr 4179   |-> cmpt 4729  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   x. cmul 9941   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  40159