Theorem dvnmptdivc 40153

Description: Function-builder for iterated derivative, division rule for constant divisor. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnmptdivc.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvnmptdivc.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvnmptdivc.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvnmptdivc.b	|- ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC )
dvnmptdivc.dvn	|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) )
dvnmptdivc.c	|- ( ph -> C e. CC )
dvnmptdivc.cne0	|- ( ph -> C =/= 0 )
dvnmptdivc.8	|- ( ph -> M e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
dvnmptdivc	|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   x, C   n, M, x   S, n, x   n, X, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, n)   C( n)

Proof of Theorem dvnmptdivc

Dummy variables k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> n e. ( 0 ... M ) )
2		simpl 473	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ph )
3		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) )
4		csbeq1 3536	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> [_ k / n ]_ B = [_ 0 / n ]_ B )
5	4	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ 0 / n ]_ B / C ) )
6	5	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
7	3, 6	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( k = 0 -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . 3 |- ( k = 0 -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) ) )
9		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) )
10		csbeq1 3536	. . . . . . 7 |- ( k = j -> [_ k / n ]_ B = [_ j / n ]_ B )
11	10	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ j / n ]_ B / C ) )
12	11	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( k = j -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
13	9, 12	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
14	13	imbi2d 330	. . 3 |- ( k = j -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) ) )
15		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
16		csbeq1 3536	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> [_ k / n ]_ B = [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) )
18	17	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
19	15, 18	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) ) )
21		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = n -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) )
22		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> B = [_ k / n ]_ B )
23	22	equcoms 1947	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ k / n ]_ B )
24	23	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( k = n -> [_ k / n ]_ B = B )
25	24	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( B / C ) )
26	25	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( k = n -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )
27	21, 26	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( k = n -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) )
28	27	imbi2d 330	. . 3 |- ( k = n -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) ) )
29		dvnmptdivc.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
30		recnprss 23668	. . . . . . 7 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ CC )
32		cnex 10017	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC e. _V )
34		dvnmptdivc.a	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
35		dvnmptdivc.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
37		dvnmptdivc.cne0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C =/= 0 )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C =/= 0 )
39	34, 36, 38	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / C ) e. CC )
40		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> ( A / C ) ) = ( x e. X |-> ( A / C ) )
41	39, 40	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) : X --> CC )
42		dvnmptdivc.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
43		elpm2r 7875	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( x e. X |-> ( A / C ) ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
44	33, 29, 41, 42, 43	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
45		dvn0 23687	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( A / C ) ) )
46	31, 44, 45	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( A / C ) ) )
47		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ph )
48		dvnmptdivc.8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN0 )
49		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
50	48, 49	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
51		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
53		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) )
54		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 )
55		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n X
56		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ 0 / n ]_ B
57	55, 56	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
58	54, 57	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
59	53, 58	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
60		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. _V
61		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> 0 e. ( 0 ... M ) ) )
62	61	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) )
64		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> B = [_ 0 / n ]_ B )
65	64	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
66	63, 65	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ) )
67	62, 66	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ) ) )
68		dvnmptdivc.dvn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) )
69	59, 60, 67, 68	vtoclf 3258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
70	47, 52, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
71	70	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) )
73		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
74		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
75	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
76		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
77		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n 0
78		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) )
79		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n CC
80	56, 79	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ 0 / n ]_ B e. CC
81	78, 80	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
82	61	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) ) )
83	64	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( B e. CC <-> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) )
84	82, 83	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) ) )
85		dvnmptdivc.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC )
86	77, 81, 84, 85	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) )
87	76, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
88	74, 73, 75, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
90	89	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ [_ 0 / n ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) = [_ 0 / n ]_ B )
91	73, 88, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) = [_ 0 / n ]_ B )
92	72, 91	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ 0 / n ]_ B = ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) )
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
94	34, 93	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
95		elpm2r 7875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( x e. X |-> A ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
96	33, 29, 94, 42, 95	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
97		dvn0 23687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> A ) )
98	31, 96, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> A ) )
99	98	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
101	93	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
102	73, 34, 101	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
103	92, 100, 102	3eqtrrd 2661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A = [_ 0 / n ]_ B )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / C ) = ( [_ 0 / n ]_ B / C ) )
105	104	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
106	46, 105	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
107	106	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) )
108		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ph )
109		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> j e. ( 0..^ M ) )
110		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ph )
111		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
112	110, 111	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
113	112	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
114	31	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> S C_ CC )
115	44	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
116		elfzofz 12485	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ( 0 ... M ) )
117		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
118	117	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> j e. NN0 )
119	116, 118	sylanl2 683	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> j e. NN0 )
120		dvnp1 23688	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
121	114, 115, 119, 120	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
122		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
123	122	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
124	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> S C_ CC )
125	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
126		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
127	126, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
128	116, 127	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. NN0 )
129	124, 125, 128, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
131	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> S e. { RR , CC } )
132		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> j e. ( 0 ... M ) )
133	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> ph )
134		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
135	133, 134, 132	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) )
136		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n j
137		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) )
138	136	nfcsb1 3548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ j / n ]_ B
139	138, 79	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n [_ j / n ]_ B e. CC
140	137, 139	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
141		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> j e. ( 0 ... M ) ) )
142	141	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) )
143		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> B = [_ j / n ]_ B )
144	143	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( B e. CC <-> [_ j / n ]_ B e. CC ) )
145	142, 144	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC ) ) )
146	136, 140, 145, 85	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC ) )
147	132, 135, 146	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
148	116, 147	sylanl2 683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
149		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
150	149	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
151	116, 133	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ph )
152		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
153	151, 152, 150	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
154		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( j + 1 )
155		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
156	154	nfcsb1 3548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ ( j + 1 ) / n ]_ B
157	156, 79	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC
158	155, 157	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC )
159		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
160	159	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) )
161		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> B = [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
162	161	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( B e. CC <-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) )
163	160, 162	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) ) )
164	154, 158, 163, 85	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) )
165	150, 153, 164	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC )
166		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ph )
167	116	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
168		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) )
169		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j )
170	55, 138	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B )
171	169, 170	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B )
172	168, 171	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
173	141	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) )
174		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) )
175	143	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
176	174, 175	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) )
177	173, 176	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) ) )
178	172, 177, 68	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
179	166, 167, 178	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
180	179	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) )
181	180	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
182	166, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
183		dvnp1 23688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
184	124, 182, 128, 183	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
185	184	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) )
186	149	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
187	166, 186	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
188		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
189		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) )
190	55, 156	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
191	189, 190	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
192	188, 191	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
193	159	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) )
194		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) )
195	161	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
196	194, 195	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) )
197	193, 196	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) ) )
198	154, 192, 197, 68	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) )
199	186, 187, 198	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
200	181, 185, 199	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
201	35	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> C e. CC )
202	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> C =/= 0 )
203	131, 148, 165, 200, 201, 202	dvmptdivc 23728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
204	203	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
205	130, 123, 204	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
206	205	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
207	206, 121, 123	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
208	121, 123, 207	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
209	108, 109, 113, 208	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
210	209	3exp 1264	. . 3 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) ) )
211	8, 14, 20, 28, 107, 210	fzind2 12586	. 2 |- ( n e. ( 0 ... M ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) )
212	1, 2, 211	sylc 65	1 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   _D cdv 23627   Dncdvn 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632

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