Theorem esumcvgsum 30150

Description: The value of the extended sum when the corresponding sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcvgsum.1	|- ( k = i -> A = B )
esumcvgsum.2	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
esumcvgsum.3	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )
esumcvgsum.4	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> L )
esumcvgsum.5	|- ( ph -> L e. RR )

Assertion

Ref	Expression
esumcvgsum	|- ( ph -> Σ* k e. NN A = sum_ k e. NN A )

Distinct variable groups:   i, k   A, i   B, k   k, F   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( k)   B( i)   F( i)   L( i, k)

Proof of Theorem esumcvgsum

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcvgsum.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
2		esumcvgsum.1	. 2 |- ( k = i -> A = B )
3		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> ph )
4		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... j ) -> k e. NN )
5	4	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> k e. NN )
6		esumcvgsum.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )
7	3, 5, 6	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> ( F ` k ) = A )
8		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9	8	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
10	9	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11	10	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
12		mnfxr 10096	. . . . . . . . 9 |- -oo e. RR*
13		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
14		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
15		mnflt 11957	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. RR -> -oo < 0 )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- -oo < 0
17		pnfge 11964	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e. RR* -> +oo <_ +oo )
18	13, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- +oo <_ +oo
19		icossioo 12264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( -oo < 0 /\ +oo <_ +oo ) ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ ( -oo (,) +oo ) )
20	12, 13, 16, 18, 19	mp4an 709	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( -oo (,) +oo )
21		ioomax 12248	. . . . . . . 8 |- ( -oo (,) +oo ) = RR
22	20, 21	sseqtri 3637	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
23	3, 5, 1	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
24	22, 23	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> A e. RR )
25	24	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> A e. CC )
26	7, 11, 25	fsumser 14461	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> sum_ k e. ( 1 ... j ) A = ( seq 1 ( + , F ) ` j ) )
27	26	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( j e. NN |-> sum_ k e. ( 1 ... j ) A ) = ( j e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` j ) ) )
28		1z 11407	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
29		seqfn 12813	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , F ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , F ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
31		fneq2 5980	. . . . . . 7 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( + , F ) Fn NN <-> seq 1 ( + , F ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) ) )
32	8, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , F ) Fn NN <-> seq 1 ( + , F ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
33	30, 32	mpbir 221	. . . . 5 |- seq 1 ( + , F ) Fn NN
34		dffn5 6241	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , F ) Fn NN <-> seq 1 ( + , F ) = ( j e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` j ) ) )
35	33, 34	mpbi 220	. . . 4 |- seq 1 ( + , F ) = ( j e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` j ) )
36		seqex 12803	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
37	36	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
38		esumcvgsum.5	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
39		esumcvgsum.4	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> L )
40		breldmg 5330	. . . . 5 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. _V /\ L e. RR /\ seq 1 ( + , F ) ~~> L ) -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
42	35, 41	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` j ) ) e. dom ~~> )
43	27, 42	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( j e. NN |-> sum_ k e. ( 1 ... j ) A ) e. dom ~~> )
44	1, 2, 43	esumpcvgval 30140	1 |- ( ph -> Σ* k e. NN A = sum_ k e. NN A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  omssubadd  30362