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Theorem eulerpartlemgc 30424
Description: Lemma for eulerpart 30444. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpartlems.s |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgc |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
Distinct variable groups:   f, k, A   R, f, k   t, k, A   t, R   t, S, k
Allowed substitution hints:   A( n)   R( n)   S( f, n)
Proof of Theorem eulerpartlemgc
Dummy variable i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11090 . . . . 5 |- 2 e. RR
21a1i 11 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> 2 e. RR )
3 bitsss 15148 . . . . 5 |- (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0
4 simprr 796 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. (bits ` ( A ` t ) ) )
53, 4sseldi 3601 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. NN0 )
62, 5reexpcld 13025 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR )
7 simprl 794 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. NN )
87nnred 11035 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR )
96, 8remulcld 10070 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) e. RR )
10 eulerpartlems.r . . . . . . . 8 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
11 eulerpartlems.s . . . . . . . 8 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
1210, 11eulerpartlemelr 30419 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin ) )
1312simpld 475 . . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
1413ffvelrnda 6359 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
1514adantrr 753 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
1615nn0red 11352 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
1716, 8remulcld 10070 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
1810, 11eulerpartlemsf 30421 . . . . 5 |- S : ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) --> NN0
1918ffvelrni 6358 . . . 4 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
2019adantr 481 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
2120nn0red 11352 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
2214nn0red 11352 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. RR )
2322adantrr 753 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
247nnrpd 11870 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR+ )
2524rprege0d 11879 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t ) )
26 bitsfi 15159 . . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
2715, 26syl 17 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
281a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 2 e. RR )
293a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0 )
3029sselda 3603 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> i e. NN0 )
3128, 30reexpcld 13025 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> ( 2 ^ i ) e. RR )
32 0le2 11111 . . . . . . 7 |- 0 <_ 2
3332a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ 2 )
3428, 30, 33expge0d 13026 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ i ) )
354snssd 4340 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> { n } C_ (bits ` ( A ` t ) ) )
3627, 31, 34, 35fsumless 14528 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) <_ sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) )
376recnd 10068 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
38 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( i = n -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
3938sumsn 14475 . . . . 5 |- ( ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ ( 2 ^ n ) e. CC ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
404, 37, 39syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
41 bitsinv1 15164 . . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
4215, 41syl 17 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
4336, 40, 423brtr3d 4684 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) )
44 lemul1a 10877 . . 3 |- ( ( ( ( 2 ^ n ) e. RR /\ ( A ` t ) e. RR /\ ( t e. RR /\ 0 <_ t ) ) /\ ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
456, 23, 25, 43, 44syl31anc 1329 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
46 fzfid 12772 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
47 elfznn 12370 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) -> k e. NN )
48 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ k e. NN ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
4913, 47, 48syl2an 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
5049nn0red 11352 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
5147adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. NN )
5251nnred 11035 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. RR )
5350, 52remulcld 10070 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
5453adantlr 751 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
5549nn0ge0d 11354 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( A ` k ) )
56 0red 10041 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 e. RR )
5751nngt0d 11064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 < k )
5856, 52, 57ltled 10185 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ k )
5950, 52, 55, 58mulge0d 10604 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
6059adantlr 751 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
61 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
62 id 22 . . . . . . . 8 |- ( k = t -> k = t )
6361, 62oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
64 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) )
6546, 54, 60, 63, 64fsumge1 14529 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
6665adantlr 751 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
67 eldif 3584 . . . . . . 7 |- ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
68 nndiffz1 29548 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) )
6968eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7019, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7170pm5.32i 669 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7210, 11eulerpartlems 30422 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
7371, 72sylbi 207 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
7473oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( 0 x. t ) )
75 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
7675eldifad 3586 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. NN )
7776nncnd 11036 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. CC )
7877mul02d 10234 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( 0 x. t ) = 0 )
7974, 78eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = 0 )
80 fzfid 12772 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
8180, 53, 59fsumge0 14527 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8281adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8379, 82eqbrtrd 4675 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8467, 83sylan2br 493 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8584anassrs 680 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8666, 85pm2.61dan 832 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8710, 11eulerpartlemsv3 30423 . . . . 5 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8887adantr 481 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8986, 88breqtrrd 4681 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
9089adantrr 753 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
919, 17, 21, 45, 90letrd 10194 1 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416  bitscbits 15141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144
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