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Theorem eulerpartlemgc 30424
Description: Lemma for eulerpart 30444. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgc  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k    t,
k, A    t, R    t, S, k
Allowed substitution hints:    A( n)    R( n)    S( f, n)

Proof of Theorem eulerpartlemgc
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11090 . . . . 5  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
2  e.  RR )
3 bitsss 15148 . . . . 5  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
4 simprr 796 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )
53, 4sseldi 3601 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
62, 5reexpcld 13025 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  RR )
7 simprl 794 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  NN )
87nnred 11035 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  RR )
96, 8remulcld 10070 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  e.  RR )
10 eulerpartlems.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
11 eulerpartlems.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
1210, 11eulerpartlemelr 30419 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
1312simpld 475 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A : NN --> NN0 )
1413ffvelrnda 6359 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
1514adantrr 753 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  NN0 )
1615nn0red 11352 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  RR )
1716, 8remulcld 10070 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  e.  RR )
1810, 11eulerpartlemsf 30421 . . . . 5  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
1918ffvelrni 6358 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
2019adantr 481 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
2120nn0red 11352 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  RR )
2214nn0red 11352 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  RR )
2322adantrr 753 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  RR )
247nnrpd 11870 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  RR+ )
2524rprege0d 11879 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t )
)
26 bitsfi 15159 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  (bits `  ( A `  t ) )  e.  Fin )
2715, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
(bits `  ( A `  t ) )  e. 
Fin )
281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  2  e.  RR )
293a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
(bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0 )
3029sselda 3603 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  i  e.  NN0 )
3128, 30reexpcld 13025 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
2 ^ i )  e.  RR )
32 0le2 11111 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  0  <_  2 )
3428, 30, 33expge0d 13026 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  0  <_  ( 2 ^ i
) )
354snssd 4340 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  { n }  C_  (bits `  ( A `  t ) ) )
3627, 31, 34, 35fsumless 14528 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  { n }  ( 2 ^ i )  <_  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i ) )
376recnd 10068 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  CC )
38 oveq2 6658 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
3938sumsn 14475 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  ( 2 ^ n )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  { n }  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
404, 37, 39syl2anc 693 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  { n }  ( 2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
41 bitsinv1 15164 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i )  =  ( A `  t ) )
4215, 41syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i )  =  ( A `  t ) )
4336, 40, 423brtr3d 4684 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  <_  ( A `  t ) )
44 lemul1a 10877 . . 3  |-  ( ( ( ( 2 ^ n )  e.  RR  /\  ( A `  t
)  e.  RR  /\  ( t  e.  RR  /\  0  <_  t )
)  /\  ( 2 ^ n )  <_ 
( A `  t
) )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  <_  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
456, 23, 25, 43, 44syl31anc 1329 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( ( A `  t )  x.  t ) )
46 fzfid 12772 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( S `  A
) )  e.  Fin )
47 elfznn 12370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( S `  A
) )  ->  k  e.  NN )
48 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  e.  NN0 )
4913, 47, 48syl2an 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  NN0 )
5049nn0red 11352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
5147adantl 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  k  e.  NN )
5251nnred 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  k  e.  RR )
5350, 52remulcld 10070 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  k )  e.  RR )
5453adantlr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  k )  e.  RR )
5549nn0ge0d 11354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  ( A `  k )
)
56 0red 10041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  e.  RR )
5751nngt0d 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <  k
)
5856, 52, 57ltled 10185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  k
)
5950, 52, 55, 58mulge0d 10604 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  (
( A `  k
)  x.  k ) )
6059adantlr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  0  <_  ( ( A `  k
)  x.  k ) )
61 fveq2 6191 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
62 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
6361, 62oveq12d 6668 . . . . . . 7  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
64 simpr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )
6546, 54, 60, 63, 64fsumge1 14529 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
6665adantlr 751 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  t  e.  (
1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
67 eldif 3584 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )
68 nndiffz1 29548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )
6968eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
7019, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
7170pm5.32i 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  <->  ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  (
ZZ>= `  ( ( S `
 A )  +  1 ) ) ) )
7210, 11eulerpartlems 30422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
7371, 72sylbi 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
7473oveq1d 6665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  ( 0  x.  t ) )
75 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) ) )
7675eldifad 3586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  NN )
7776nncnd 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  CC )
7877mul02d 10234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( 0  x.  t
)  =  0 )
7974, 78eqtrd 2656 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  0 )
80 fzfid 12772 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
1 ... ( S `  A ) )  e. 
Fin )
8180, 53, 59fsumge0 14527 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8281adantr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8379, 82eqbrtrd 4675 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8467, 83sylan2br 493 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ) )  ->  (
( A `  t
)  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8584anassrs 680 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( ( A `  t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8666, 85pm2.61dan 832 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8710, 11eulerpartlemsv3 30423 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8887adantr 481 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( S `  A
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8986, 88breqtrrd 4681 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
9089adantrr 753 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
919, 17, 21, 45, 90letrd 10194 1  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 196    /\ wa 384    = wceq 1483    e. wcel 1990   {cab 2608    \ cdif 3571    i^i cin 3573    C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653    |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650    ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937    + caddc 9939    x. cmul 9941    <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416  bitscbits 15141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144
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