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Theorem fourierdlem86 40409
Description: Continuity of O and its limits with respect to the S partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem86.f |- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem86.xre |- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem86.p |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem86.m |- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem86.v |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem86.fcn |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem86.r |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
fourierdlem86.l |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem86.a |- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem86.b |- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem86.altb |- ( ph -> A < B )
fourierdlem86.ab |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem86.n0 |- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem86.c |- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem86.o |- O = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem86.q |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem86.t |- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
fourierdlem86.n |- N = ( ( # ` T ) - 1 )
fourierdlem86.s |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
fourierdlem86.d |- D = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
fourierdlem86.e |- E = ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) )
fourierdlem86.u |- U = ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem86 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ E e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, i, s   i, F, s   L, s   i, M, m, p   j, M, s, i   f, N   i, N, s   i, O   Q, i, s   R, s   S, f   S, i, s   T, f   U, i   i, V, p   j, V, s   i, X, m, p   j, X, s   f, j, ph   ph, i, s
Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( f, i, j, m, p)   B( f, i, j, m, p)   C( f, j, m, p)   D( f, i, j, m, s, p)   P( f, i, j, m, s, p)   Q( f, j, m, p)   R( f, i, j, m, p)   S( j, m, p)   T( i, j, m, s, p)   U( f, j, m, s, p)   E( f, i, j, m, s, p)   F( f, j, m, p)   L( f, i, j, m, p)   M( f)   N( j, m, p)   O( f, j, m, s, p)   V( f, m)   X( f)
Proof of Theorem fourierdlem86
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem86.d . . 3 |- D = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
2 fourierdlem86.xre . . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR )
32adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> X e. RR )
4 fourierdlem86.p . . . . . . . 8 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
5 fourierdlem86.m . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
65adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> M e. NN )
7 fourierdlem86.v . . . . . . . . 9 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
87adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> V e. ( P ` M ) )
9 fourierdlem86.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
109adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> A e. RR )
11 fourierdlem86.b . . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
1211adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> B e. RR )
13 fourierdlem86.altb . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < B )
1413adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> A < B )
15 fourierdlem86.ab . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
1615adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
17 fourierdlem86.q . . . . . . . 8 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
18 fourierdlem86.t . . . . . . . 8 |- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
19 fourierdlem86.n . . . . . . . 8 |- N = ( ( # ` T ) - 1 )
20 fourierdlem86.s . . . . . . . 8 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
21 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ( 0..^ N ) )
22 fourierdlem86.u . . . . . . . 8 |- U = ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
23 biid 251 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` y ) (,) ( Q ` ( y + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` y ) (,) ( Q ` ( y + 1 ) ) ) ) )
243, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23fourierdlem50 40373 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( U e. ( 0..^ M ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) )
2524simpld 475 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> U e. ( 0..^ M ) )
26 id 22 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) )
2724simprd 479 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
2826, 25, 27jca31 557 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ U e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) )
29 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ U e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
30 nfv 1843 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) )
31 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ i [_ U / i ]_ L
32 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ i ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
3330, 31, 32nfif 4115 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
34 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i -
35 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i C
3633, 34, 35nfov 6676 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C )
37 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i /
38 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( S ` ( j + 1 ) )
3936, 37, 38nfov 6676 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) )
40 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i x.
41 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) )
4239, 40, 41nfov 6676 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
4342nfel1 2779 . . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) )
44 nfv 1843 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ( S ` j ) = ( Q ` U )
45 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ i [_ U / i ]_ R
46 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ i ( F ` ( X + ( S ` j ) ) )
4744, 45, 46nfif 4115 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) )
4847, 34, 35nfov 6676 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C )
49 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( S ` j )
5048, 37, 49nfov 6676 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) )
51 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) )
5250, 40, 51nfov 6676 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) )
5352nfel1 2779 . . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) )
5443, 53nfan 1828 . . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
55 nfv 1843 . . . . . . . . 9 |- F/ i ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC )
5654, 55nfan 1828 . . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
5729, 56nfim 1825 . . . . . . 7 |- F/ i ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ U e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
58 eleq1 2689 . . . . . . . . . 10 |- ( i = U -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> U e. ( 0..^ M ) ) )
5958anbi2d 740 . . . . . . . . 9 |- ( i = U -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ U e. ( 0..^ M ) ) ) )
60 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = U -> ( Q ` i ) = ( Q ` U ) )
61 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = U -> ( i + 1 ) = ( U + 1 ) )
6261fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = U -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) )
6360, 62oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( i = U -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
6463sseq2d 3633 . . . . . . . . 9 |- ( i = U -> ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) )
6559, 64anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( i = U -> ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ U e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) ) )
6662eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = U -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
67 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = U -> L = [_ U / i ]_ L )
6866, 67ifbieq1d 4109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = U -> if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
6968oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = U -> ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) = ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) )
7069oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = U -> ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
7170oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = U -> ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
7271eleq1d 2686 . . . . . . . . . 10 |- ( i = U -> ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) <-> ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
7360eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = U -> ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) <-> ( S ` j ) = ( Q ` U ) ) )
74 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = U -> R = [_ U / i ]_ R )
7573, 74ifbieq1d 4109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = U -> if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) = if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) )
7675oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = U -> ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) = ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) )
7776oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = U -> ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) = ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) )
7877oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = U -> ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) )
7978eleq1d 2686 . . . . . . . . . 10 |- ( i = U -> ( ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) <-> ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) )
8072, 79anbi12d 747 . . . . . . . . 9 |- ( i = U -> ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) <-> ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) ) )
8180anbi1d 741 . . . . . . . 8 |- ( i = U -> ( ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) <-> ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) )
8265, 81imbi12d 334 . . . . . . 7 |- ( i = U -> ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ U e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) ) )
83 fourierdlem86.f . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR --> RR )
84 fourierdlem86.fcn . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
85 fourierdlem86.r . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
86 fourierdlem86.l . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
87 fourierdlem86.n0 . . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
88 fourierdlem86.c . . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
89 fourierdlem86.o . . . . . . . 8 |- O = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
90 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
91 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) )
92 biid 251 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
9383, 2, 4, 5, 7, 84, 85, 86, 9, 11, 13, 15, 87, 88, 89, 17, 18, 19, 20, 90, 91, 92fourierdlem76 40399 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
9457, 82, 93vtoclg1f 3265 . . . . . 6 |- ( U e. ( 0..^ M ) -> ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ U e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) )
9525, 28, 94sylc 65 . . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
9695simpld 475 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) )
9796simpld 475 . . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) , [_ U / i ]_ L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
981, 97syl5eqel 2705 . 2 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
99 fourierdlem86.e . . 3 |- E = ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) )
10096simprd 479 . . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` U ) , [_ U / i ]_ R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
10199, 100syl5eqel 2705 . 2 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> E e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
10295simprd 479 . 2 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
10398, 101, 102jca31 557 1 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ E e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888   Isom wiso 5889   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117   sincsin 14794   picpi 14797   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427
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