Theorem fourierdlem87 40410

Description: The integral of G goes uniformly ( with respect to n) to zero if the measure of the domain of integration goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem87.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem87.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem87.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem87.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem87.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem87.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem87.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem87.s	|- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem87.g	|- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
fourierdlem87.10	|- ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ x )
fourierdlem87.gibl	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. L^1 )
fourierdlem87.d	|- D = ( ( e / 3 ) / a )
fourierdlem87.ch	|- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem87	|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   D, d, n, u   G, a, d, s, u   K, a, s   U, a, n   U, k, n   x, U, a   e, a, d, n, u   ph, a, d, n, s, u   ch, s   e, k, u   k, s   ph, x, s

Allowed substitution hints:   ph( e, k)   ch( x, u, e, k, n, a, d)   D( x, e, k, s, a)   S( x, u, e, k, n, s, a, d)   U( u, e, s, d)   F( x, u, e, k, n, s, a, d)   G( x, e, k, n)   H( x, u, e, k, n, s, a, d)   K( x, u, e, k, n, d)   W( x, u, e, k, n, s, a, d)   X( x, u, e, k, n, s, a, d)   Y( x, u, e, k, n, s, a, d)

Proof of Theorem fourierdlem87

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem87.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem87.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR )
3		fourierdlem87.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
4		fourierdlem87.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. RR )
5		fourierdlem87.h	. . . . . 6 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
6		fourierdlem87.k	. . . . . 6 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
7		fourierdlem87.u	. . . . . 6 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
8		fourierdlem87.10	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ x )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	fourierdlem77 40400	. . . . 5 |- ( ph -> E. a e. RR+ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a )
10		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ s ( ph /\ a e. RR+ )
11		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ s A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a
12	10, 11	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ s ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a )
13		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ s n e. NN
14	12, 13	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ s ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN )
15		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ph )
16		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> a e. RR+ )
17		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> n e. NN )
18	15, 16, 17	jca31 557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) )
19		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
20		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a )
21		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a )
22	20, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a )
23		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	fourierdlem55 40378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> U : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
25	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
26	25	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
27		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. NN -> n e. RR )
28		fourierdlem87.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
29	28	fourierdlem5 40329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. RR -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. NN -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
31	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
32	31, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
33	26, 32	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
34		fourierdlem87.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
35	34	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
36	23, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
38		halfre 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 / 2 ) e. RR
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN -> ( 1 / 2 ) e. RR )
40	27, 39	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. NN -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
42		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- pi e. RR
43	42	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- -u pi e. RR
44		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
45	43, 42, 44	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
46	45	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) -> s e. RR )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> s e. RR )
48	41, 47	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
49	48	resincld 14873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
50	28	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
51	37, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
53	52	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
54	36, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) = ( abs ` ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
56	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( U ` s ) e. CC )
57	49	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
58	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. CC )
59	56, 58	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
60	55, 59	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) = ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
61	60	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) = ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) = ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
63	56	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) e. RR )
64	58	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
65	63, 64	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. RR )
66	65	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. RR )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. RR )
68	63	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) e. RR )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) e. RR )
70		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. RR+ -> a e. RR )
71	70	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) -> a e. RR )
72		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> 1 e. RR )
73	56	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( U ` s ) ) )
74	48	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
75		abssinbd 39509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) <_ 1 )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) <_ 1 )
77	64, 72, 63, 73, 76	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. 1 ) )
78	63	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) e. CC )
79	78	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( U ` s ) ) )
80	77, 79	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) <_ ( abs ` ( U ` s ) ) )
81	80	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) <_ ( abs ` ( U ` s ) ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) <_ ( abs ` ( U ` s ) ) )
83		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a )
84	67, 69, 71, 82, 83	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) <_ a )
85	62, 84	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
86	18, 19, 22, 85	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
87	86	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) )
88	14, 87	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) /\ n e. NN ) -> A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
89	88	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a ) -> A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
90	89	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. RR+ ) -> ( A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a -> A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) )
91	90	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. a e. RR+ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ a -> E. a e. RR+ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) )
92	9, 91	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. a e. RR+ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
93	92	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
94		fourierdlem87.d	. . . . . . . 8 |- D = ( ( e / 3 ) / a )
95		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. RR+ -> e e. RR+ )
96		3rp 11838	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. RR+
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. RR+ -> 3 e. RR+ )
98	95, 97	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. RR+ -> ( e / 3 ) e. RR+ )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( e e. RR+ /\ a e. RR+ ) -> ( e / 3 ) e. RR+ )
100		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( e e. RR+ /\ a e. RR+ ) -> a e. RR+ )
101	99, 100	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 |- ( ( e e. RR+ /\ a e. RR+ ) -> ( ( e / 3 ) / a ) e. RR+ )
102	94, 101	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( e e. RR+ /\ a e. RR+ ) -> D e. RR+ )
103	102	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) -> D e. RR+ )
104	103	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) -> D e. RR+ )
105		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ph /\ e e. RR+ )
106		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n a e. RR+
107		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a
108	105, 106, 107	nf3an 1831	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
109		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ n u e. dom vol
110	108, 109	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol )
111		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D )
112	110, 111	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ n ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) )
113		fourierdlem87.ch	. . . . . . . . . 10 |- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) )
114		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) -> ph )
115	114	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) -> ph )
116	113, 115	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ph )
117	116, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> F : RR --> RR )
118	116, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> X e. RR )
119	116, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> Y e. RR )
120	116, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> W e. RR )
121	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) -> n e. RR )
122	113, 121	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> n e. RR )
123	117, 118, 119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34	fourierdlem67 40390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. u ) -> G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
125		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) -> u C_ ( -u pi [,] pi ) )
126	113, 125	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> u C_ ( -u pi [,] pi ) )
127	126	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. u ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
128	124, 127	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. u ) -> ( G ` s ) e. RR )
129		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) -> u e. dom vol )
130	113, 129	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> u e. dom vol )
131	123	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( G ` s ) e. RR )
132	123	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( G ` s ) ) )
133	113	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> n e. NN )
134		fourierdlem87.gibl	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. L^1 )
135	116, 133, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> G e. L^1 )
136	132, 135	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
137	126, 130, 131, 136	iblss 23571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( s e. u |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
138	128, 137	itgcl 23550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> S. u ( G ` s ) _d s e. CC )
139	138	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) e. RR )
140	128	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. u ) -> ( G ` s ) e. CC )
141	140	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. u ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) e. RR )
142	128, 137	iblabs 23595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( s e. u |-> ( abs ` ( G ` s ) ) ) e. L^1 )
143	141, 142	itgrecl 23564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> S. u ( abs ` ( G ` s ) ) _d s e. RR )
144		simpl1r 1113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) -> e e. RR+ )
145	144	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) -> e e. RR+ )
146	113, 145	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> e e. RR+ )
147	146	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> e e. RR )
148	147	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( e / 2 ) e. RR )
149	128, 137	itgabs 23601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) <_ S. u ( abs ` ( G ` s ) ) _d s )
150		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) -> a e. RR+ )
151	150	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) -> a e. RR+ )
152	113, 151	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> a e. RR+ )
153	152	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> a e. RR )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. u ) -> a e. RR )
155		iccssxr 12256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
156		volf 23297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
158	157, 130	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( vol ` u ) e. ( 0 [,] +oo ) )
159	155, 158	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( vol ` u ) e. RR* )
160		iccvolcl 23335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( vol ` ( -u pi [,] pi ) ) e. RR )
161	43, 42, 160	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( -u pi [,] pi ) ) e. RR
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( vol ` ( -u pi [,] pi ) ) e. RR )
163		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -oo e. RR*
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> -oo e. RR* )
165		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR*
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> 0 e. RR* )
167		mnflt0 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -oo < 0
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> -oo < 0 )
169		volge0 40177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` u ) )
170	130, 169	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> 0 <_ ( vol ` u ) )
171	164, 166, 159, 168, 170	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> -oo < ( vol ` u ) )
172		iccmbl 23334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) e. dom vol )
173	43, 42, 172	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u pi [,] pi ) e. dom vol
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( -u pi [,] pi ) e. dom vol )
175		volss 23301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. dom vol /\ ( -u pi [,] pi ) e. dom vol /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) -> ( vol ` u ) <_ ( vol ` ( -u pi [,] pi ) ) )
176	130, 174, 126, 175	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( vol ` u ) <_ ( vol ` ( -u pi [,] pi ) ) )
177		xrre 12000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( vol ` u ) e. RR* /\ ( vol ` ( -u pi [,] pi ) ) e. RR ) /\ ( -oo < ( vol ` u ) /\ ( vol ` u ) <_ ( vol ` ( -u pi [,] pi ) ) ) ) -> ( vol ` u ) e. RR )
178	159, 162, 171, 176, 177	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( vol ` u ) e. RR )
179	152	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> a e. CC )
180		iblconstmpt 40171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. dom vol /\ ( vol ` u ) e. RR /\ a e. CC ) -> ( s e. u |-> a ) e. L^1 )
181	130, 178, 179, 180	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( s e. u |-> a ) e. L^1 )
182	154, 181	itgrecl 23564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> S. u a _d s e. RR )
183		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) -> A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
184	183	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) -> A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
185	113, 184	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
186		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a /\ n e. NN ) -> A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
187	185, 133, 186	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. u ) -> A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
189		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
190	188, 127, 189	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. u ) -> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a )
191	142, 181, 141, 154, 190	itgle 23576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> S. u ( abs ` ( G ` s ) ) _d s <_ S. u a _d s )
192		itgconst 23585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. dom vol /\ ( vol ` u ) e. RR /\ a e. CC ) -> S. u a _d s = ( a x. ( vol ` u ) ) )
193	130, 178, 179, 192	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> S. u a _d s = ( a x. ( vol ` u ) ) )
194	153, 178	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( a x. ( vol ` u ) ) e. RR )
195		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 3 e. RR
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> 3 e. RR )
197		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 3 =/= 0
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> 3 =/= 0 )
199	147, 196, 198	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( e / 3 ) e. RR )
200	152	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> a =/= 0 )
201	199, 153, 200	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( ( e / 3 ) / a ) e. RR )
202	94, 201	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> D e. RR )
203	153, 202	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( a x. D ) e. RR )
204	152	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> 0 <_ a )
205		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` u ) <_ D )
206	113, 205	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( vol ` u ) <_ D )
207	178, 202, 153, 204, 206	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( a x. ( vol ` u ) ) <_ ( a x. D ) )
208	94	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a x. D ) = ( a x. ( ( e / 3 ) / a ) )
209	199	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( e / 3 ) e. CC )
210	209, 179, 200	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( a x. ( ( e / 3 ) / a ) ) = ( e / 3 ) )
211	208, 210	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( a x. D ) = ( e / 3 ) )
212		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR+
213	212	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> 2 e. RR+ )
214	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> 3 e. RR+ )
215		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 < 3
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> 2 < 3 )
217	213, 214, 146, 216	ltdiv2dd 39507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( e / 3 ) < ( e / 2 ) )
218	211, 217	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( a x. D ) < ( e / 2 ) )
219	194, 203, 148, 207, 218	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( a x. ( vol ` u ) ) < ( e / 2 ) )
220	193, 219	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> S. u a _d s < ( e / 2 ) )
221	143, 182, 148, 191, 220	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> S. u ( abs ` ( G ` s ) ) _d s < ( e / 2 ) )
222	139, 143, 148, 149, 221	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) )
223	113, 222	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) /\ n e. NN ) -> ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) )
224	223	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) -> ( n e. NN -> ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
225	112, 224	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) )
226	225	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) /\ u e. dom vol ) -> ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
227	226	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
228		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( ( vol ` u ) <_ d <-> ( vol ` u ) <_ D ) )
229	228	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) <-> ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) ) )
230	229	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
231	230	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
232	231	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( D e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ D ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
233	104, 227, 232	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ a e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
234	233	rexlimdv3a 3033	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. a e. RR+ A. n e. NN A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ a -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
235	93, 234	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
236		simplll 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) /\ n e. NN ) /\ s e. u ) -> ph )
237		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) /\ n e. NN ) /\ s e. u ) -> n e. NN )
238		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) /\ n e. NN ) /\ s e. u ) -> u C_ ( -u pi [,] pi ) )
239		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) /\ n e. NN ) /\ s e. u ) -> s e. u )
240	238, 239	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) /\ n e. NN ) /\ s e. u ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
241	236, 237, 240, 54	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) /\ n e. NN ) /\ s e. u ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
242	241	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) /\ n e. NN ) -> S. u ( G ` s ) _d s = S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
243	242	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) /\ n e. NN ) -> ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) = ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
244	243	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
245	244	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) -> ( A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. n e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
246		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) )
247	246	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
248	247	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
249	248	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
250	249	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n = k /\ s e. u ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
251	250	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
252	251	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
253	252	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
254	253	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
255	245, 254	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u C_ ( -u pi [,] pi ) ) -> ( A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
256	255	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) ) -> ( A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
257	256	pm5.74da 723	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
258	257	rexralbidv 3058	. . 3 |- ( ph -> ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
259	258	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. n e. NN ( abs ` S. u ( G ` s ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
260	235, 259	mpbid 222	1 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u pi [,] pi ) /\ ( vol ` u ) <_ d ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   RR+crp 11832   [,]cicc 12178   abscabs 13974   sincsin 14794   picpi 14797   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427