Theorem friendshipgt3 27256

Description: The friendship theorem for big graphs: In every finite friendship graph with order greater than 3 there is a vertex which is adjacent to all other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
friendshipgt3	|- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) )

Distinct variable groups:   v, G   v, V   w, G, v   w, V

Proof of Theorem friendshipgt3

Dummy variables k m t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrreggt1.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		eqid 2622	. . . 4 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
3	1, 2	frgrregorufrg 27190	. . 3 |- ( G e. FriendGraph -> A. k e. NN0 ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) )
4	3	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> A. k e. NN0 ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) )
5	1	frgrogt3nreg 27255	. 2 |- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> A. k e. NN0 -. G RegUSGraph k )
6		frgrusgr 27124	. . . . . . 7 |- ( G e. FriendGraph -> G e. USGraph )
7	6	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin ) -> ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) )
8	1	isfusgr 26210	. . . . . 6 |- ( G e. FinUSGraph <-> ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) )
9	7, 8	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin ) -> G e. FinUSGraph )
10	9	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> G e. FinUSGraph )
11		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> 0 e. RR )
12		3re 11094	. . . . . . . . 9 |- 3 e. RR
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> 3 e. RR )
14		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. Fin -> ( # ` V ) e. NN0 )
15	14	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( V e. Fin -> ( # ` V ) e. RR )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> ( # ` V ) e. RR )
17		3pos 11114	. . . . . . . . 9 |- 0 < 3
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> 0 < 3 )
19		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> 3 < ( # ` V ) )
20	11, 13, 16, 18, 19	lttrd 10198	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> 0 < ( # ` V ) )
21	20	gt0ne0d 10592	. . . . . 6 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> ( # ` V ) =/= 0 )
22		hasheq0 13154	. . . . . . . 8 |- ( V e. Fin -> ( ( # ` V ) = 0 <-> V = (/) ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> ( ( # ` V ) = 0 <-> V = (/) ) )
24	23	necon3bid 2838	. . . . . 6 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> ( ( # ` V ) =/= 0 <-> V =/= (/) ) )
25	21, 24	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> V =/= (/) )
26	25	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> V =/= (/) )
27	1	fusgrn0degnn0 26395	. . . 4 |- ( ( G e. FinUSGraph /\ V =/= (/) ) -> E. t e. V E. m e. NN0 ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m )
28	10, 26, 27	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> E. t e. V E. m e. NN0 ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m )
29		r19.26 3064	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. NN0 ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph k ) <-> ( A. k e. NN0 ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ A. k e. NN0 -. G RegUSGraph k ) )
30		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) -> m e. NN0 )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = t -> ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = ( (VtxDeg ` G ) ` t ) )
32	31	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = t -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m <-> ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) )
33	32	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. V /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) -> E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m )
34	33	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) -> E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m )
35		ornld 940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m -> ( ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m -> ( G RegUSGraph m \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph m ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) -> ( ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m -> ( G RegUSGraph m \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph m ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) /\ k = m ) -> ( ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m -> ( G RegUSGraph m \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph m ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) )
38		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k <-> ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m ) )
39	38	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k <-> E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m ) )
40		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( G RegUSGraph k <-> G RegUSGraph m ) )
41	40	orbi1d 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) <-> ( G RegUSGraph m \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) )
42	39, 41	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) <-> ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m -> ( G RegUSGraph m \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) ) )
43	40	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( -. G RegUSGraph k <-> -. G RegUSGraph m ) )
44	42, 43	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph k ) <-> ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m -> ( G RegUSGraph m \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph m ) ) )
45	44	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( ( ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph k ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) <-> ( ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m -> ( G RegUSGraph m \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph m ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) /\ k = m ) -> ( ( ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph k ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) <-> ( ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = m -> ( G RegUSGraph m \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph m ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) )
47	37, 46	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) /\ k = m ) -> ( ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph k ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) )
48	30, 47	rspcimdv 3310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) -> ( A. k e. NN0 ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph k ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) )
49	48	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. NN0 ( ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ -. G RegUSGraph k ) -> ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) )
50	29, 49	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. NN0 ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) /\ A. k e. NN0 -. G RegUSGraph k ) -> ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) )
51	50	expcom 451	. . . . . 6 |- ( A. k e. NN0 -. G RegUSGraph k -> ( A. k e. NN0 ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) -> ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) )
52	51	com13 88	. . . . 5 |- ( ( ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) /\ ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m ) /\ ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) ) -> ( A. k e. NN0 ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) -> ( A. k e. NN0 -. G RegUSGraph k -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) )
53	52	exp31 630	. . . 4 |- ( ( t e. V /\ m e. NN0 ) -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m -> ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> ( A. k e. NN0 ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) -> ( A. k e. NN0 -. G RegUSGraph k -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) ) ) )
54	53	rexlimivv 3036	. . 3 |- ( E. t e. V E. m e. NN0 ( (VtxDeg ` G ) ` t ) = m -> ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> ( A. k e. NN0 ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) -> ( A. k e. NN0 -. G RegUSGraph k -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) ) )
55	28, 54	mpcom 38	. 2 |- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> ( A. k e. NN0 ( E. u e. V ( (VtxDeg ` G ) ` u ) = k -> ( G RegUSGraph k \/ E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) -> ( A. k e. NN0 -. G RegUSGraph k -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) ) ) )
56	4, 5, 55	mp2d 49	1 |- ( ( G e. FriendGraph /\ V e. Fin /\ 3 < ( # ` V ) ) -> E. v e. V A. w e. ( V \ { v } ) { v , w } e. (Edg ` G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   3c3 11071   NN0cn0 11292   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   FinUSGraph cfusgr 26208  VtxDegcvtxdg 26361   RegUSGraph crusgr 26452   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-reps 13306  df-csh 13535  df-s2 13593  df-s3 13594  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-ushgr 25954  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-fusgr 26209  df-nbgr 26228  df-vtxdg 26362  df-rgr 26453  df-rusgr 26454  df-wlks 26495  df-wlkson 26496  df-trls 26589  df-trlson 26590  df-pths 26612  df-spths 26613  df-pthson 26614  df-spthson 26615  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723  df-wwlksnon 26724  df-wspthsn 26725  df-wspthsnon 26726  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878  df-conngr 27047  df-frgr 27121

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