Theorem ibladdlem 23586

Description: Lemma for ibladd 23587. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibladd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
ibladd.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
ibladd.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D = ( B + C ) )
ibladd.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
ibladd.5	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
ibladd.6	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
ibladd.7	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ibladdlem	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem ibladdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifan 4134	. . . 4 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 )
2		ibladd.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D = ( B + C ) )
3		ibladd.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		ibladd.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
5	3, 4	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. RR )
6	2, 5	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. RR )
7		0re 10040	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
8		ifcl 4130	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR )
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR )
10	9	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR* )
11		max1 12016	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ D e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
12	7, 6, 11	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
13		elxrge0 12281	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) ) )
14	10, 12, 13	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15		0e0iccpnf 12283	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
17	14, 16	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19	1, 18	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) )
21	19, 20	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
22		reex 10027	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. _V )
24		ifan 4134	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 )
25		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
26	3, 7, 25	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
27	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. RR )
28	26, 27	ifclda 4120	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) e. RR )
29	24, 28	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
31		ifan 4134	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 )
32		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
33	4, 7, 32	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
34	33, 27	ifclda 4120	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) e. RR )
35	31, 34	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. RR )
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. RR )
37		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) )
38		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
39	23, 30, 36, 37, 38	offval2 6914	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) )
40		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
41		ibar 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 0 <_ B <-> ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) )
42	41	ifbid 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
43		ibar 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 0 <_ C <-> ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) )
44	43	ifbid 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
45	42, 44	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
46	40, 45	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
47		00id 10211	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 0 ) = 0
48		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) -> x e. A )
49	48	con3i 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) )
50	49	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
51		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) -> x e. A )
52	51	con3i 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ C ) )
53	52	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = 0 )
54	50, 53	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
55		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = 0 )
56	47, 54, 55	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
57	46, 56	pm2.61i 176	. . . . . . 7 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 )
58	57	mpteq2i 4741	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
59	39, 58	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
60	59	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
61		ibladd.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
62	61, 3	mbfdm2 23405	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. dom vol )
63		mblss 23299	. . . . . . 7 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
64	62, 63	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
65		rembl 23308	. . . . . . 7 |- RR e. dom vol
66	65	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. dom vol )
67	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
68		eldifn 3733	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
69	68	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
70	69	intnanrd 963	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) )
71	70	iffalsed 4097	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
72	42	mpteq2ia 4740	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
73	3, 61	mbfpos 23418	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
74	72, 73	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) e. MblFn )
75	64, 66, 67, 71, 74	mbfss 23413	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) e. MblFn )
76		max1 12016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
77	7, 3, 76	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
78		elrege0 12278	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
79	26, 77, 78	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
80		0e0icopnf 12282	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
81	80	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
82	79, 81	ifclda 4120	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
83	24, 82	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
84	83	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
85		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
86	84, 85	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
87		ibladd.6	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
88	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. RR )
89	69, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = 0 )
90	44	mpteq2ia 4740	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
91		ibladd.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
92	4, 91	mbfpos 23418	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. MblFn )
93	90, 92	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) e. MblFn )
94	64, 66, 88, 89, 93	mbfss 23413	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) e. MblFn )
95		max1 12016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
96	7, 4, 95	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
97		elrege0 12278	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
98	33, 96, 97	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
99	98, 81	ifclda 4120	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
100	31, 99	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
101	100	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
102		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
103	101, 102	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
104		ibladd.7	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR )
105	75, 86, 87, 94, 103, 104	itg2add 23526	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) )
106	60, 105	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) )
107	87, 104	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) e. RR )
108	106, 107	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
109	26, 33	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR )
110	109	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR* )
111	26, 33, 77, 96	addge0d 10603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
112		elxrge0 12281	. . . . . . 7 |- ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
113	110, 111, 112	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
114	113, 16	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
115	114	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
116		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
117	115, 116	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
118		max2 12018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
119	7, 3, 118	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
120		max2 12018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
121	7, 4, 120	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
122	3, 4, 26, 33, 119, 121	le2addd 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
123	2, 122	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
124		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( D = if ( 0 <_ D , D , 0 ) -> ( D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) <-> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
125		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = if ( 0 <_ D , D , 0 ) -> ( 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) <-> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
126	124, 125	ifboth 4124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) /\ 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
127	123, 111, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
128		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
129	128	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
130	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
131	127, 129, 130	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
132	131	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
133		0le0 11110	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
134	133	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
135		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = 0 )
136	134, 135, 55	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
137	132, 136	pm2.61d1 171	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
138	1, 137	syl5eqbr 4688	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
139	138	ralrimivw 2967	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
140		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) )
141		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
142	23, 19, 115, 140, 141	ofrfval2 6915	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
143	139, 142	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
144		itg2le 23506	. . 3 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
145	21, 117, 143, 144	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
146		itg2lecl 23505	. 2 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )
147	21, 108, 145, 146	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ibladd  23587