Theorem itgle 23576

Description: Monotonicity of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgle.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgle.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
itgle.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
itgle.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
itgle.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
itgle	|- ( ph -> S. A B _d x <_ S. A C _d x )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem itgle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgle.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
2		itgle.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
3	2	iblrelem 23557	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
4	1, 3	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) )
5	4	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
6		itgle.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
7		itgle.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
8	7	iblrelem 23557	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
9	6, 8	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) ) e. RR ) )
10	9	simp3d 1075	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) ) e. RR )
11	9	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR )
12	4	simp3d 1075	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR )
13	2	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
14	13	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR* )
15		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
16		elxrge0 12281	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
17	14, 15, 16	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
18		0e0iccpnf 12283	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
20	17, 19	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
22	20, 21	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
23	7	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR )
24	23	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
25		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ C )
26		elxrge0 12281	. . . . . . 7 |- ( C e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) )
27	24, 25, 26	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
28	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
29	27, 28	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
30		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
31	29, 30	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
32		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
33		max1 12016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
34	32, 7, 33	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
35		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
36	7, 32, 35	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
37		itgle.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ C )
38		max2 12018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
39	32, 7, 38	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
40	2, 7, 36, 37, 39	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
41	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
42		maxle 12022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) <-> ( 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) /\ B <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
43	41, 2, 36, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) <-> ( 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) /\ B <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
44	34, 40, 43	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
45		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
47		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
49	44, 46, 48	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) )
50	49	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) ) )
51		0le0 11110	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
53		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) = 0 )
54		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) = 0 )
55	52, 53, 54	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) )
56	50, 55	pm2.61d1 171	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) )
57		ifan 4134	. . . . . . 7 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 )
58		ifan 4134	. . . . . . 7 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 )
59	56, 57, 58	3brtr4g 4687	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) <_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
60	59	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) <_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
61		reex 10027	. . . . . . 7 |- RR e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. _V )
63		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) )
64		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
65	62, 20, 29, 63, 64	ofrfval2 6915	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) <_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
66	60, 65	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
67		itg2le 23506	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) )
68	22, 31, 66, 67	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) )
69	7	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u C e. RR )
70	69	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) ) -> -u C e. RR )
71	70	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) ) -> -u C e. RR* )
72		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) ) -> 0 <_ -u C )
73		elxrge0 12281	. . . . . . 7 |- ( -u C e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -u C e. RR* /\ 0 <_ -u C ) )
74	71, 72, 73	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) ) -> -u C e. ( 0 [,] +oo ) )
75	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
76	74, 75	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
77		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) )
78	76, 77	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
79	2	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
80	79	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) ) -> -u B e. RR )
81	80	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) ) -> -u B e. RR* )
82		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) ) -> 0 <_ -u B )
83		elxrge0 12281	. . . . . . 7 |- ( -u B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -u B e. RR* /\ 0 <_ -u B ) )
84	81, 82, 83	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) ) -> -u B e. ( 0 [,] +oo ) )
85	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
86	84, 85	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
87		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) )
88	86, 87	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
89		max1 12016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
90	32, 79, 89	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
91		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
92	79, 32, 91	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
93	2, 7	lenegd 10606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B <_ C <-> -u C <_ -u B ) )
94	37, 93	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u C <_ -u B )
95		max2 12018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u B <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
96	32, 79, 95	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
97	69, 79, 92, 94, 96	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u C <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
98		maxle 12022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ -u C e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> ( 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) /\ -u C <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
99	41, 69, 92, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> ( 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) /\ -u C <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
100	90, 97, 99	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
101		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
103		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
105	100, 102, 104	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) )
106	105	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) )
107		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) , 0 ) = 0 )
108		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) = 0 )
109	52, 107, 108	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) )
110	106, 109	pm2.61d1 171	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) )
111		ifan 4134	. . . . . . 7 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) , 0 )
112		ifan 4134	. . . . . . 7 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 )
113	110, 111, 112	3brtr4g 4687	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) <_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) )
114	113	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) <_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) )
115		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) )
116		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) )
117	62, 76, 86, 115, 116	ofrfval2 6915	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) <_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) )
118	114, 117	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) )
119		itg2le 23506	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) )
120	78, 88, 118, 119	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) )
121	5, 10, 11, 12, 68, 120	le2subd 10647	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) <_ ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) ) ) )
122	2, 1	itgrevallem1 23561	. 2 |- ( ph -> S. A B _d x = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) )
123	7, 6	itgrevallem1 23561	. 2 |- ( ph -> S. A C _d x = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u C ) , -u C , 0 ) ) ) ) )
124	121, 122, 123	3brtr4d 4685	1 |- ( ph -> S. A B _d x <_ S. A C _d x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   [,]cicc 12178  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgge0  23577  itgless  23583  itgabs  23601  itgulm  24162  itgabsnc  33479  wallispilem1  40282  fourierdlem47  40370  fourierdlem87  40410  etransclem23  40474