Theorem itgabs 23601

Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgabs.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgabs.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
itgabs	|- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x   x, V

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgabs

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgabs.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
2		itgabs.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
3	1, 2	itgcl 23550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. A B _d x e. CC )
4	3	cjcld 13936	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( * ` S. A B _d x ) e. CC )
5		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
7	6, 1	mbfmptcl 23404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
8	7	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. A B e. CC )
9		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y B e. CC
10		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
11	10	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. CC
12		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
13	12	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( B e. CC <-> [_ y / x ]_ B e. CC ) )
14	9, 11, 13	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A B e. CC <-> A. y e. A [_ y / x ]_ B e. CC )
15	8, 14	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. A [_ y / x ]_ B e. CC )
16	15	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. CC )
17		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y B
18	17, 10, 12	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
19	18, 2	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B ) e. L^1 )
20	4, 16, 19	iblmulc2 23597	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. L^1 )
21	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( * ` S. A B _d x ) e. CC )
22	21, 16	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) e. CC )
23	22	iblcn 23565	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. L^1 <-> ( ( y e. A |-> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 /\ ( y e. A |-> ( Im ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) ) )
24	20, 23	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( y e. A |-> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 /\ ( y e. A |-> ( Im ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 ) )
25	24	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 )
26		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) e. _V )
27	26, 20	iblabs 23595	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) ) e. L^1 )
28	22	recld 13934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. RR )
29	22	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) e. RR )
30	22	releabsd 14190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) <_ ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) )
31	25, 27, 28, 29, 30	itgle 23576	. . . . . 6 |- ( ph -> S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y <_ S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y )
32	3	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) e. CC )
34	33	sqvald 13005	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) )
35	3	absvalsqd 14181	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = ( S. A B _d x x. ( * ` S. A B _d x ) ) )
36	3, 4	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S. A B _d x x. ( * ` S. A B _d x ) ) = ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A B _d x ) )
37	12, 17, 10	cbvitg 23542	. . . . . . . . . . . 12 |- S. A B _d x = S. A [_ y / x ]_ B _d y
38	37	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A B _d x ) = ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A [_ y / x ]_ B _d y )
39	4, 16, 19	itgmulc2 23600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A [_ y / x ]_ B _d y ) = S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y )
40	38, 39	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( * ` S. A B _d x ) x. S. A B _d x ) = S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y )
41	35, 36, 40	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) ) = ( Re ` S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) )
43	32	resqcld 13035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) e. RR )
44	43	rered 13964	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) )
45	26, 20	itgre 23567	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` S. A ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) _d y ) = S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y )
46	42, 44, 45	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) ^ 2 ) = S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y )
47	34, 46	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) = S. A ( Re ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y )
48	12	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / x ]_ B ) )
49		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( abs ` B )
50		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x abs
51	50, 10	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( abs ` [_ y / x ]_ B )
52	48, 49, 51	cbvitg 23542	. . . . . . . 8 |- S. A ( abs ` B ) _d x = S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y
53	52	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y )
54	16	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` [_ y / x ]_ B ) e. RR )
55	16, 19	iblabs 23595	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) e. L^1 )
56	33, 54, 55	itgmulc2 23600	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y ) = S. A ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) _d y )
57	21, 16	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) = ( ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) )
58	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> S. A B _d x e. CC )
59	58	abscjd 14189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) = ( abs ` S. A B _d x ) )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( abs ` ( * ` S. A B _d x ) ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) )
61	57, 60	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) = ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) )
62	61	itgeq2dv 23548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y = S. A ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` [_ y / x ]_ B ) ) _d y )
63	56, 62	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` [_ y / x ]_ B ) _d y ) = S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y )
64	53, 63	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) = S. A ( abs ` ( ( * ` S. A B _d x ) x. [_ y / x ]_ B ) ) _d y )
65	31, 47, 64	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) )
66	65	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) )
67	32	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( abs ` S. A B _d x ) e. RR )
68	7	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
69	1, 2	iblabs 23595	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
70	68, 69	itgrecl 23564	. . . . . 6 |- ( ph -> S. A ( abs ` B ) _d x e. RR )
71	70	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> S. A ( abs ` B ) _d x e. RR )
72		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> 0 < ( abs ` S. A B _d x ) )
73		lemul2 10876	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` S. A B _d x ) e. RR /\ S. A ( abs ` B ) _d x e. RR /\ ( ( abs ` S. A B _d x ) e. RR /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) ) -> ( ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x <-> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) )
74	67, 71, 67, 72, 73	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x <-> ( ( abs ` S. A B _d x ) x. ( abs ` S. A B _d x ) ) <_ ( ( abs ` S. A B _d x ) x. S. A ( abs ` B ) _d x ) ) )
75	66, 74	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < ( abs ` S. A B _d x ) ) -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x )
76	75	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) )
77	7	absge0d 14183	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
78	69, 68, 77	itgge0 23577	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ S. A ( abs ` B ) _d x )
79		breq1 4656	. . 3 |- ( 0 = ( abs ` S. A B _d x ) -> ( 0 <_ S. A ( abs ` B ) _d x <-> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) )
80	78, 79	syl5ibcom 235	. 2 |- ( ph -> ( 0 = ( abs ` S. A B _d x ) -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x ) )
81	3	absge0d 14183	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` S. A B _d x ) )
82		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
83		leloe 10124	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ ( abs ` S. A B _d x ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( abs ` S. A B _d x ) <-> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) \/ 0 = ( abs ` S. A B _d x ) ) ) )
84	82, 32, 83	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( 0 <_ ( abs ` S. A B _d x ) <-> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) \/ 0 = ( abs ` S. A B _d x ) ) ) )
85	81, 84	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( 0 < ( abs ` S. A B _d x ) \/ 0 = ( abs ` S. A B _d x ) ) )
86	76, 80, 85	mpjaod 396	1 |- ( ph -> ( abs ` S. A B _d x ) <_ S. A ( abs ` B ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   ^cexp 12860   *ccj 13836   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ftc1a  23800  ftc1lem4  23802  itgulm  24162  fourierdlem47  40370  fourierdlem87  40410  etransclem23  40474