Theorem cnlnadjlem7 28932

Description: Lemma for cnlnadji 28935. Helper lemma to show that F is continuous. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	|- T e. LinOp
cnlnadjlem.2	|- T e. ContOp
cnlnadjlem.3	|- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )
cnlnadjlem.4	|- B = ( iota_ w e. ~H A. v e. ~H ( ( T ` v ) .ih y ) = ( v .ih w ) )
cnlnadjlem.5	|- F = ( y e. ~H |-> B )

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem7	|- ( A e. ~H -> ( normh ` ( F ` A ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) )

Distinct variable groups:   v, g, w, y, A   w, F   T, g, v, w, y   v, G, w

Allowed substitution hints:   B( y, w, v, g)   F( y, v, g)   G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. 2 |- ( ( normh ` ( F ` A ) ) = 0 -> ( ( normh ` ( F ` A ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) <-> 0 <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) ) )
2		cnlnadjlem.1	. . . . . . . . . 10 |- T e. LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . . 10 |- T e. ContOp
4		cnlnadjlem.3	. . . . . . . . . 10 |- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )
5		cnlnadjlem.4	. . . . . . . . . 10 |- B = ( iota_ w e. ~H A. v e. ~H ( ( T ` v ) .ih y ) = ( v .ih w ) )
6		cnlnadjlem.5	. . . . . . . . . 10 |- F = ( y e. ~H |-> B )
7	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem4 28929	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ~H -> ( F ` A ) e. ~H )
8	2	lnopfi 28828	. . . . . . . . . 10 |- T : ~H --> ~H
9	8	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` A ) e. ~H -> ( T ` ( F ` A ) ) e. ~H )
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. ~H -> ( T ` ( F ` A ) ) e. ~H )
11		hicl 27937	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T ` ( F ` A ) ) e. ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) e. CC )
12	10, 11	mpancom 703	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) e. CC )
13	12	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( abs ` ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) ) e. RR )
14		normcl 27982	. . . . . . . 8 |- ( ( T ` ( F ` A ) ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` ( F ` A ) ) ) e. RR )
15	10, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( normh ` ( T ` ( F ` A ) ) ) e. RR )
16		normcl 27982	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( normh ` A ) e. RR )
17	15, 16	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` ( T ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) e. RR )
18	2, 3	nmcopexi 28886	. . . . . . . 8 |- ( normop ` T ) e. RR
19		normcl 27982	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` A ) e. ~H -> ( normh ` ( F ` A ) ) e. RR )
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. ~H -> ( normh ` ( F ` A ) ) e. RR )
21		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` ( F ` A ) ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) e. RR )
22	18, 20, 21	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) e. RR )
23	22, 16	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) e. RR )
24		bcs 28038	. . . . . . 7 |- ( ( ( T ` ( F ` A ) ) e. ~H /\ A e. ~H ) -> ( abs ` ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) )
25	10, 24	mpancom 703	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( abs ` ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) )
26		normge0 27983	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> 0 <_ ( normh ` A ) )
27	2, 3	nmcoplbi 28887	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` ( F ` A ) ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
28	7, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( normh ` ( T ` ( F ` A ) ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
29	15, 22, 16, 26, 28	lemul1ad 10963	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` ( T ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) )
30	13, 17, 23, 25, 29	letrd 10194	. . . . 5 |- ( A e. ~H -> ( abs ` ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) )
31	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem5 28930	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ~H /\ ( F ` A ) e. ~H ) -> ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) = ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) )
32	7, 31	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) = ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( abs ` ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) ) = ( abs ` ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) ) )
34		hiidrcl 27952	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) e. ~H -> ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) e. RR )
35	7, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) e. RR )
36		hiidge0 27955	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) e. ~H -> 0 <_ ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) )
37	7, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> 0 <_ ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) )
38	35, 37	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( abs ` ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) ) = ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) )
39		normsq 27991	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) e. ~H -> ( ( normh ` ( F ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) )
40	7, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` ( F ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) )
41	20	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( A e. ~H -> ( normh ` ( F ` A ) ) e. CC )
42	41	sqvald 13005	. . . . . . 7 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` ( F ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( normh ` ( F ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
43	40, 42	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( ( F ` A ) .ih ( F ` A ) ) = ( ( normh ` ( F ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
44	33, 38, 43	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( A e. ~H -> ( abs ` ( ( T ` ( F ` A ) ) .ih A ) ) = ( ( normh ` ( F ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
45	16	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( A e. ~H -> ( normh ` A ) e. CC )
46	18	recni 10052	. . . . . . 7 |- ( normop ` T ) e. CC
47		mul32 10203	. . . . . . 7 |- ( ( ( normop ` T ) e. CC /\ ( normh ` ( F ` A ) ) e. CC /\ ( normh ` A ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
48	46, 47	mp3an1 1411	. . . . . 6 |- ( ( ( normh ` ( F ` A ) ) e. CC /\ ( normh ` A ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
49	41, 45, 48	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( A e. ~H -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) x. ( normh ` A ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
50	30, 44, 49	3brtr3d 4684	. . . 4 |- ( A e. ~H -> ( ( normh ` ( F ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
51	50	adantr 481	. . 3 |- ( ( A e. ~H /\ ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) -> ( ( normh ` ( F ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) )
52	20	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. ~H /\ ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) -> ( normh ` ( F ` A ) ) e. RR )
53		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` A ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) e. RR )
54	18, 16, 53	sylancr 695	. . . . 5 |- ( A e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) e. RR )
55	54	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. ~H /\ ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) e. RR )
56		normge0 27983	. . . . . . 7 |- ( ( F ` A ) e. ~H -> 0 <_ ( normh ` ( F ` A ) ) )
57		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
58		leltne 10127	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( normh ` ( F ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` ( F ` A ) ) ) -> ( 0 < ( normh ` ( F ` A ) ) <-> ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) )
59	57, 58	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( ( normh ` ( F ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` ( F ` A ) ) ) -> ( 0 < ( normh ` ( F ` A ) ) <-> ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) )
60	19, 56, 59	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( F ` A ) e. ~H -> ( 0 < ( normh ` ( F ` A ) ) <-> ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) )
61	60	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ( F ` A ) e. ~H /\ ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) -> 0 < ( normh ` ( F ` A ) ) )
62	7, 61	sylan 488	. . . 4 |- ( ( A e. ~H /\ ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) -> 0 < ( normh ` ( F ` A ) ) )
63		lemul1 10875	. . . 4 |- ( ( ( normh ` ( F ` A ) ) e. RR /\ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) e. RR /\ ( ( normh ` ( F ` A ) ) e. RR /\ 0 < ( normh ` ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( normh ` ( F ` A ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) <-> ( ( normh ` ( F ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) ) )
64	52, 55, 52, 62, 63	syl112anc 1330	. . 3 |- ( ( A e. ~H /\ ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) -> ( ( normh ` ( F ` A ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) <-> ( ( normh ` ( F ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) x. ( normh ` ( F ` A ) ) ) ) )
65	51, 64	mpbird 247	. 2 |- ( ( A e. ~H /\ ( normh ` ( F ` A ) ) =/= 0 ) -> ( normh ` ( F ` A ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) )
66		nmopge0 28770	. . . . 5 |- ( T : ~H --> ~H -> 0 <_ ( normop ` T ) )
67	8, 66	ax-mp 5	. . . 4 |- 0 <_ ( normop ` T )
68		mulge0 10546	. . . 4 |- ( ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ 0 <_ ( normop ` T ) ) /\ ( ( normh ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) )
69	18, 67, 68	mpanl12 718	. . 3 |- ( ( ( normh ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` A ) ) -> 0 <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) )
70	16, 26, 69	syl2anc 693	. 2 |- ( A e. ~H -> 0 <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) )
71	1, 65, 70	pm2.61ne 2879	1 |- ( A e. ~H -> ( normh ` ( F ` A ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~Hchil 27776   .ih csp 27779   normhcno 27780   normopcnop 27802   ContOpccop 27803   LinOpclo 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-nmop 28698  df-cnop 28699  df-lnop 28700  df-nmfn 28704  df-nlfn 28705  df-cnfn 28706  df-lnfn 28707

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  28933  nmopadjlei  28947