Theorem geomulcvg 14607

Description: The geometric series converges even if it is multiplied by k to result in the larger series k x. A ^ k. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
geomulcvg.1	|- F = ( k e. NN0 |-> ( k x. ( A ^ k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
geomulcvg	|- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hint:   F( k)

Proof of Theorem geomulcvg

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geomulcvg.1	. . . . . . 7 |- F = ( k e. NN0 |-> ( k x. ( A ^ k ) ) )
2		elnn0 11294	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
3		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) -> A = 0 )
4	3	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) -> ( A ^ k ) = ( 0 ^ k ) )
5		0exp 12895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( 0 ^ k ) = 0 )
6	4, 5	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) = 0 )
7	6	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( k x. ( A ^ k ) ) = ( k x. 0 ) )
8		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. CC )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k e. NN ) -> k e. CC )
10	9	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
11	7, 10	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( k x. ( A ^ k ) ) = 0 )
12		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k = 0 ) -> k = 0 )
13	12	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k = 0 ) -> ( k x. ( A ^ k ) ) = ( 0 x. ( A ^ k ) ) )
14		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k = 0 ) -> A e. CC )
15		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
16	12, 15	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k = 0 ) -> k e. NN0 )
17	14, 16	expcld 13008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k = 0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
18	17	mul02d 10234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k = 0 ) -> ( 0 x. ( A ^ k ) ) = 0 )
19	13, 18	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k = 0 ) -> ( k x. ( A ^ k ) ) = 0 )
20	11, 19	jaodan 826	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ ( k e. NN \/ k = 0 ) ) -> ( k x. ( A ^ k ) ) = 0 )
21	2, 20	sylan2b 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( k x. ( A ^ k ) ) = 0 )
22	21	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) -> ( k e. NN0 |-> ( k x. ( A ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> 0 ) )
23	1, 22	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) -> F = ( k e. NN0 |-> 0 ) )
24		fconstmpt 5163	. . . . . . 7 |- ( NN0 X. { 0 } ) = ( k e. NN0 |-> 0 )
25		nn0uz 11722	. . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
26	25	xpeq1i 5135	. . . . . . 7 |- ( NN0 X. { 0 } ) = ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } )
27	24, 26	eqtr3i 2646	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 |-> 0 ) = ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } )
28	23, 27	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) -> F = ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) )
29	28	seqeq3d 12809	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) -> seq 0 ( + , F ) = seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) ) )
30		0z 11388	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
31		serclim0 14308	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . 4 |- seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0
33	29, 32	syl6eqbr 4692	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) -> seq 0 ( + , F ) ~~> 0 )
34		seqex 12803	. . . 4 |- seq 0 ( + , F ) e. _V
35		c0ex 10034	. . . 4 |- 0 e. _V
36	34, 35	breldm 5329	. . 3 |- ( seq 0 ( + , F ) ~~> 0 -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
37	33, 36	syl 17	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A = 0 ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
38		1red 10055	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> 1 e. RR )
39		abscl 14018	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
41		peano2re 10209	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) e. RR -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
43	42	rehalfcld 11279	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) e. RR )
44	43	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) e. RR )
45		absrpcl 14028	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
46	45	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
47	44, 46	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) e. RR )
48	40	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
49	48	mulid2d 10058	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
50		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` A ) < 1 )
51		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
52		avglt1 11270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> ( abs ` A ) < ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ) )
53	40, 51, 52	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> ( abs ` A ) < ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ) )
54	50, 53	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` A ) < ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) )
55	49, 54	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) < ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) )
56	55	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) < ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) )
57	38, 44, 46	ltmuldivd 11919	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> ( ( 1 x. ( abs ` A ) ) < ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) <-> 1 < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ) )
58	56, 57	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> 1 < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) )
59		expmulnbnd 12996	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) e. RR /\ 1 < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ) -> E. n e. NN0 A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 x. k ) < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
60	38, 47, 58, 59	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> E. n e. NN0 A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 x. k ) < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
61		eluznn0 11757	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN0 )
62		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
64	63	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( 1 x. k ) = k )
65	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) e. CC )
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) e. CC )
67	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
68	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
69	68	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` A ) =/= 0 )
70		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
71	66, 67, 69, 70	expdivd 13022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
72	64, 71	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 x. k ) < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) <-> k < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) ) )
73		nn0re 11301	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
75		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) e. RR )
76	44, 75	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) e. RR )
77	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
78		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR )
79	77, 78	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR )
80	77	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
81		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
83	68	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( abs ` A ) )
84		expgt0 12893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ k e. ZZ /\ 0 < ( abs ` A ) ) -> 0 < ( ( abs ` A ) ^ k ) )
85	80, 82, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ( abs ` A ) ^ k ) )
86		ltmuldiv 10896	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. RR /\ ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) e. RR /\ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR /\ 0 < ( ( abs ` A ) ^ k ) ) ) -> ( ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) <-> k < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) ) )
87	74, 76, 79, 85, 86	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) <-> k < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) ) )
88	72, 87	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 x. k ) < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) <-> ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) )
89	61, 88	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ ( n e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( ( 1 x. k ) < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) <-> ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) )
90	89	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ n e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( 1 x. k ) < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) <-> ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) )
91	90	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 x. k ) < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) )
92		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) -> n e. NN0 )
93		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) = ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) )
94		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) )
95		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) e. _V
96	93, 94, 95	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ` m ) = ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) )
97	96	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ` m ) = ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) )
98	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) e. RR )
99		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
100	98, 99	reexpcld 13025	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) e. RR )
101	97, 100	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ` m ) e. RR )
102		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> k = m )
103		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( A ^ k ) = ( A ^ m ) )
104	102, 103	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( k x. ( A ^ k ) ) = ( m x. ( A ^ m ) ) )
105		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( m x. ( A ^ m ) ) e. _V
106	104, 1, 105	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> ( F ` m ) = ( m x. ( A ^ m ) ) )
107	106	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` m ) = ( m x. ( A ^ m ) ) )
108		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN0 -> m e. CC )
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> m e. CC )
110		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) -> A e. CC )
111		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ m ) e. CC )
112	110, 111	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ m ) e. CC )
113	109, 112	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( m x. ( A ^ m ) ) e. CC )
114	107, 113	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` m ) e. CC )
115		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> 0 e. RR )
116		absge0 14027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
118	115, 40, 43, 117, 54	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> 0 < ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) )
119	115, 43, 118	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) )
120	43, 119	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) )
121		avglt2 11271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) < 1 ) )
122	40, 51, 121	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) < 1 ) )
123	50, 122	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) < 1 )
124	120, 123	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ) < 1 )
125		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) = ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ n ) )
126		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ n ) e. _V
127	125, 94, 126	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ` n ) = ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ n ) )
128	127	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ` n ) = ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ n ) )
129	65, 124, 128	geolim 14601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ) ) )
130		seqex 12803	. . . . . . . . . . 11 |- seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) e. _V
131		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / ( 1 - ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ) ) e. _V
132	130, 131	breldm 5329	. . . . . . . . . 10 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) e. dom ~~> )
133	129, 132	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) e. dom ~~> )
134	133	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) e. dom ~~> )
135		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) -> 1 e. RR )
136		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. NN0 )
137	92, 136	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. NN0 )
138	137	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. RR )
139		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A e. CC )
140	139	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
141	140, 137	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ m ) e. RR )
142	138, 141	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( m x. ( ( abs ` A ) ^ m ) ) e. RR )
143	137, 100	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) e. RR )
144		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) )
145		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( ( abs ` A ) ^ k ) = ( ( abs ` A ) ^ m ) )
146	102, 145	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) = ( m x. ( ( abs ` A ) ^ m ) ) )
147	146, 93	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) <-> ( m x. ( ( abs ` A ) ^ m ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) ) )
148	147	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( m x. ( ( abs ` A ) ^ m ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) )
149	144, 148	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( m x. ( ( abs ` A ) ^ m ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) )
150	142, 143, 149	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( m x. ( ( abs ` A ) ^ m ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) )
151	137	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. CC )
152	139, 137	expcld 13008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( A ^ m ) e. CC )
153	151, 152	absmuld 14193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( m x. ( A ^ m ) ) ) = ( ( abs ` m ) x. ( abs ` ( A ^ m ) ) ) )
154	137	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 0 <_ m )
155	138, 154	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` m ) = m )
156	139, 137	absexpd 14191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( A ^ m ) ) = ( ( abs ` A ) ^ m ) )
157	155, 156	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` m ) x. ( abs ` ( A ^ m ) ) ) = ( m x. ( ( abs ` A ) ^ m ) ) )
158	153, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( m x. ( A ^ m ) ) ) = ( m x. ( ( abs ` A ) ^ m ) ) )
159	143	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) e. CC )
160	159	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 1 x. ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) )
161	150, 158, 160	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( m x. ( A ^ m ) ) ) <_ ( 1 x. ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) ) )
162	137, 106	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` m ) = ( m x. ( A ^ m ) ) )
163	162	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( F ` m ) ) = ( abs ` ( m x. ( A ^ m ) ) ) )
164	137, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ` m ) = ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) )
165	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 1 x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ` m ) ) = ( 1 x. ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ m ) ) )
166	161, 163, 165	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( F ` m ) ) <_ ( 1 x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ` m ) ) )
167	25, 92, 101, 114, 134, 135, 166	cvgcmpce 14550	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ ( n e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) ) ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
168	167	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> ) )
169	168	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( k x. ( ( abs ` A ) ^ k ) ) < ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) ^ k ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> ) )
170	91, 169	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 x. k ) < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> ) )
171	170	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> ( E. n e. NN0 A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( 1 x. k ) < ( ( ( ( ( abs ` A ) + 1 ) / 2 ) / ( abs ` A ) ) ^ k ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> ) )
172	60, 171	mpd 15	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ A =/= 0 ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
173	37, 172	pm2.61dane 2881	1 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  radcnvlem1  24167