Theorem pntibnd 25282

Description: Lemma for pnt 25303. Establish smallness of R on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )

Assertion

Ref	Expression
pntibnd	|- E. c e. RR+ E. l e. ( 0 (,) 1 ) A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e )

Distinct variable groups:   x, z, y   u, k, x, y, z   e, c, k, l, u, x, y, z, R   e, a, k, u, x, y, z

Allowed substitution hint:   R( a)

Proof of Theorem pntibnd

Dummy variables n m v b d f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . 3 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
2	1	pntrmax 25253	. 2 |- E. d e. RR+ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d
3	1	pntpbnd 25277	. 2 |- E. b e. RR+ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f )
4		reeanv 3107	. . 3 |- ( E. d e. RR+ E. b e. RR+ ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d /\ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) ) <-> ( E. d e. RR+ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d /\ E. b e. RR+ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) ) )
5		2rp 11837	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
6		rpmulcl 11855	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( 2 x. b ) e. RR+ )
7	5, 6	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( b e. RR+ -> ( 2 x. b ) e. RR+ )
8		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
9		1lt2 11194	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
10		rplogcl 24350	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> ( log ` 2 ) e. RR+ )
11	8, 9, 10	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( log ` 2 ) e. RR+
12		rpaddcl 11854	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. b ) e. RR+ /\ ( log ` 2 ) e. RR+ ) -> ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) e. RR+ )
13	7, 11, 12	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( b e. RR+ -> ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) e. RR+ )
14	13	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d /\ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) ) ) -> ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) e. RR+ )
15		id 22	. . . . . . . 8 |- ( d e. RR+ -> d e. RR+ )
16		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) )
17	1, 15, 16	pntibndlem1 25278	. . . . . . 7 |- ( d e. RR+ -> ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) e. ( 0 (,) 1 ) )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d /\ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) ) ) -> ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) e. ( 0 (,) 1 ) )
19		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> e e. RR )
20		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < e /\ e < 1 ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> 0 < e )
22	19, 21	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> e e. RR+ )
23	22	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
24	23	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> ( e / 2 ) e. RR )
25	23	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> 0 < ( e / 2 ) )
26		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> 1 e. RR )
27		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) < e )
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> ( e / 2 ) < e )
29	20	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> e < 1 )
30	24, 19, 26, 28, 29	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> ( e / 2 ) < 1 )
31		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR*
32		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
33	32	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR*
34		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( e / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( e / 2 ) e. RR /\ 0 < ( e / 2 ) /\ ( e / 2 ) < 1 ) ) )
35	31, 33, 34	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( e / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( e / 2 ) e. RR /\ 0 < ( e / 2 ) /\ ( e / 2 ) < 1 ) )
36	24, 25, 30, 35	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. ( 0 (,) 1 ) -> ( e / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( e / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) )
38		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( e / 2 ) -> ( b / f ) = ( b / ( e / 2 ) ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( e / 2 ) -> ( exp ` ( b / f ) ) = ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) )
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( e / 2 ) -> ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) = ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) )
41		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f <-> ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) )
42	41	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( e / 2 ) -> ( ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) <-> ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) )
43	42	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( e / 2 ) -> ( E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) <-> E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) )
44	43	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( e / 2 ) -> ( A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) <-> A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) )
45	40, 44	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( e / 2 ) -> ( A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) <-> A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) )
46	45	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( e / 2 ) -> ( E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) <-> E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) )
47	46	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) -> ( A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) -> E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) )
48	37, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) -> E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) )
49		simp-4l 806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) ) -> d e. RR+ )
50		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) ) -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d )
51		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) -> b e. RR+ )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) ) -> b e. RR+ )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) = ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) = ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) )
55		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) ) -> e e. ( 0 (,) 1 ) )
56		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) ) -> g e. RR+ )
57		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) ) -> A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) )
58	1, 49, 16, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57	pntibndlem3 25281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )
59	58	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / ( e / 2 ) ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( e / 2 ) ) -> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
60	48, 59	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) /\ e e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) -> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
61	60	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d ) -> ( A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) -> A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
62	61	impr 649	. . . . . 6 |- ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d /\ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) ) ) -> A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )
63		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) -> ( c / e ) = ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) -> ( exp ` ( c / e ) ) = ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) )
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) -> ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) = ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) )
66	65	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) -> ( A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) <-> A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
67	66	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( c = ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) -> ( E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) <-> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
68	67	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( c = ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) -> ( A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) <-> A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
69		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( l x. e ) = ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) )
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( 1 + ( l x. e ) ) = ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) = ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) )
72	71	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) <-> ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) )
73	72	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) <-> ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) ) )
74	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) = ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) )
75	74	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e <-> A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )
76	73, 75	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) <-> ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
77	76	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) <-> E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
78	77	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) <-> A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
79	78	rexralbidv 3058	. . . . . . . 8 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) <-> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
80	79	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( l = ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) -> ( A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) <-> A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
81	68, 80	rspc2ev 3324	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) e. RR+ /\ ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) e. ( 0 (,) 1 ) /\ A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( ( ( 2 x. b ) + ( log ` 2 ) ) / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( ( ( 1 / 4 ) / ( d + 3 ) ) x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) -> E. c e. RR+ E. l e. ( 0 (,) 1 ) A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )
82	14, 18, 62, 81	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d /\ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) ) ) -> E. c e. RR+ E. l e. ( 0 (,) 1 ) A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )
83	82	ex 450	. . . 4 |- ( ( d e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d /\ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) ) -> E. c e. RR+ E. l e. ( 0 (,) 1 ) A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) ) )
84	83	rexlimivv 3036	. . 3 |- ( E. d e. RR+ E. b e. RR+ ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d /\ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) ) -> E. c e. RR+ E. l e. ( 0 (,) 1 ) A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )
85	4, 84	sylbir 225	. 2 |- ( ( E. d e. RR+ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ d /\ E. b e. RR+ A. f e. ( 0 (,) 1 ) E. g e. RR+ A. m e. ( ( exp ` ( b / f ) ) [,) +oo ) A. v e. ( g (,) +oo ) E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ f ) ) -> E. c e. RR+ E. l e. ( 0 (,) 1 ) A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )
86	2, 3, 85	mp2an 708	1 |- E. c e. RR+ E. l e. ( 0 (,) 1 ) A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( c / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( l x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   abscabs 13974   expce 14792   logclog 24301  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  pnt3  25301