lgsquadlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgsquadlem3 25107

Description: Lemma for lgsquad 25108. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgseisen.1	$\$
lgseisen.2	$\$
lgseisen.3
lgsquad.4
lgsquad.5
lgsquad.6	$/\$ $/\$

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquadlem3

Distinct variable groups:

Proof of Theorem lgsquadlem3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.2	. . . . 5 $\$
2		lgseisen.1	. . . . 5 $\$
3		lgseisen.3	. . . . . 6
4	3	necomd 2849	. . . . 5
5		lgsquad.5	. . . . 5
6		lgsquad.4	. . . . 5
7		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10
8		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10
9	7, 8	bi2anan9 917	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
10		ancom 466	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	9, 10	syl6bb 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
12		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
13		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
14	12, 13	breqan12d 4669	. . . . . . . 8 $/\$
15	11, 14	anbi12d 747	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	ancoms 469	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	16	cbvopabv 4722	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	1, 2, 4, 5, 6, 17	lgsquadlem2 25106	. . . 4 $/\$ $/\$
19		relopab 5247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10
21		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10
22		xpfi 8231	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	20, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
24		opabssxp 5193	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	23, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27		cnven 8032	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	19, 26, 27	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		cnvopab 5533	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	syl6breq 4694	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		hasheni 13136	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	18, 33	eqtr4d 2659	. . 3 $/\$ $/\$
35		lgsquad.6	. . . 4 $/\$ $/\$
36	2, 1, 3, 6, 5, 35	lgsquadlem2 25106	. . 3
37	34, 36	oveq12d 6668	. 2 $/\$ $/\$
38		neg1cn 11124	. . . 4
39	38	a1i 11	. . 3
40		opabssxp 5193	. . . . . 6 $/\$ $/\$
41	35, 40	eqsstri 3635	. . . . 5
42		ssfi 8180	. . . . 5 $/\$
43	23, 41, 42	sylancl 694	. . . 4
44		hashcl 13147	. . . 4
45	43, 44	syl 17	. . 3
46		hashcl 13147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	26, 46	syl 17	. . 3 $/\$ $/\$
48	39, 45, 47	expaddd 13010	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	1	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
51		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . 16
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
53		oddprm 15515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
54	1, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55	5, 54	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
57	56	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
58		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
59	50, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
60		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
62	56	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
63	61	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
64		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
65	50, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
66		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
68	67	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
69		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
71	5, 70	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
72	62, 63, 71	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
73		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
74	57, 61, 72, 73	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
75		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
77		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	76, 77	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79		fzm1ndvds 15044	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	52, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
82	2	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
84		prmrp 15424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
85	50, 83, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
86	81, 85	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
87		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88	83, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
89		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
90	89	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
91		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92	59, 88, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
94	80, 93	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
95		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
96	83, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
97	96	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
98		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
99	98	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	99	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
101	97, 100	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
102	101	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
103	94, 102	mtbid 314	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
104		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	104	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
106		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
107	105, 59, 106	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14
109	107, 108	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	109	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	103, 110	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
112		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	112	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
114	113, 52	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
115	114	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
116	99, 96	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
117	116	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
118	115, 117	lttri2d 10176	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
119	111, 118	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$
120	119	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
121	120	pm4.71rd 667	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
122		ancom 466	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
123	121, 122	syl6rbb 277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
124	123	opabbidv 4716	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
125		unopab 4728	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
126	35	uneq2i 3764	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		andi 911	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
128	127	opabbii 4717	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
129	125, 126, 128	3eqtr4i 2654	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
130		df-xp 5120	. . . . . 6 $/\$
131	124, 129, 130	3eqtr4g 2681	. . . . 5 $/\$ $/\$
132	131	fveq2d 6195	. . . 4 $/\$ $/\$
133		inopab 5252	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	35	ineq2i 3811	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135		anandi 871	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	opabbii 4717	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	133, 134, 136	3eqtr4i 2654	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138		ltnsym2 10136	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
139	115, 117, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
141		imnan 438	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	140, 141	sylib 208	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
143	142	nexdv 1864	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
144	143	nexdv 1864	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
145		opabn0 5006	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	145	necon1bbii 2843	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	144, 146	sylib 208	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
148	137, 147	syl5eq 2668	. . . . 5 $/\$ $/\$
149		hashun 13171	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	26, 43, 148, 149	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151		hashxp 13221	. . . . . 6 $/\$
152	20, 21, 151	syl2anc 693	. . . . 5
153		oddprm 15515	. . . . . . . . . 10 $\$
154	2, 153	syl 17	. . . . . . . . 9
155	6, 154	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8
156	155	nnnn0d 11351	. . . . . . 7
157		hashfz1 13134	. . . . . . 7
158	156, 157	syl 17	. . . . . 6
159	55	nnnn0d 11351	. . . . . . 7
160		hashfz1 13134	. . . . . . 7
161	159, 160	syl 17	. . . . . 6
162	158, 161	oveq12d 6668	. . . . 5
163	152, 162	eqtrd 2656	. . . 4
164	132, 150, 163	3eqtr3d 2664	. . 3 $/\$ $/\$
165	164	oveq2d 6666	. 2 $/\$ $/\$
166	37, 48, 165	3eqtr2d 2662	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177 class class class wbr 4653

copab 4712

cxp 5112

ccnv 5113

wrel 5119

cfv 5888 (class class class)co 6650

cen 7952

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cexp 12860

chash 13117

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

clgs 25019

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-ec 7744 df-qs 7748 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-phi 15471 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-imas 16168 df-qus 16169 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-nsg 17592 df-eqg 17593 df-ghm 17658 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-rnghom 18715 df-drng 18749 df-field 18750 df-subrg 18778 df-lmod 18865 df-lss 18933 df-lsp 18972 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-lidl 19174 df-rsp 19175 df-2idl 19232 df-nzr 19258 df-rlreg 19283 df-domn 19284 df-idom 19285 df-cnfld 19747 df-zring 19819 df-zrh 19852 df-zn 19855 df-lgs 25020

This theorem is referenced by: lgsquad 25108

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