Theorem lgsqrlem2 25072

Description: Lemma for lgsqr 25076. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgsqr.s	|- S = (Poly1 ` Y )
lgsqr.b	|- B = ( Base ` S )
lgsqr.d	|- D = ( deg1 ` Y )
lgsqr.o	|- O = (eval1 ` Y )
lgsqr.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
lgsqr.x	|- X = (var1 ` Y )
lgsqr.m	|- .- = ( -g ` S )
lgsqr.u	|- .1. = ( 1r ` S )
lgsqr.t	|- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
lgsqr.l	|- L = ( ZRHom ` Y )
lgsqr.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgsqr.g	|- G = ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( y ^ 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem2	|- ( ph -> G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )

Distinct variable groups:   y, O   y, P   ph, y   y, T   y, L   y, Y

Allowed substitution hints:   B( y)   D( y)   S( y)   .1. ( y)   .^ ( y)   G( y)   .- ( y)   X( y)

Proof of Theorem lgsqrlem2

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2	1	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
3		lgsqr.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
4	3	znfld 19909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> Y e. Field )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. Field )
6		fldidom 19305	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Field -> Y e. IDomn )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. IDomn )
8		isidom 19304	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
9	8	simplbi 476	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. IDomn -> Y e. CRing )
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. CRing )
11		crngring 18558	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. Ring )
13		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Y )
14	13	zrhrhm 19860	. . . . . . . 8 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
16		zringbas 19824	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
17		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
18	16, 17	rhmf 18726	. . . . . . 7 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
19	15, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
20	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
21		elfzelz 12342	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> y e. ZZ )
22	21	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> y e. ZZ )
23		zsqcl 12934	. . . . . 6 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
25	20, 24	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( y ^ 2 ) ) e. ( Base ` Y ) )
26		lgsqr.s	. . . . 5 |- S = (Poly1 ` Y )
27		lgsqr.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
28		lgsqr.d	. . . . 5 |- D = ( deg1 ` Y )
29		lgsqr.o	. . . . 5 |- O = (eval1 ` Y )
30		lgsqr.e	. . . . 5 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
31		lgsqr.x	. . . . 5 |- X = (var1 ` Y )
32		lgsqr.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` S )
33		lgsqr.u	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` S )
34		lgsqr.t	. . . . 5 |- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
35	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
36		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> y e. NN )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> y e. NN )
38	37	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> y e. CC )
39		oddprm 15515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
40	1, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
41	40	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
43		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. NN0 )
45	38, 42, 44	expmuld 13011	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( y ^ ( 2 x. ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( y ^ 2 ) ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
46		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
47	2, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. NN )
48	47	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. RR )
49		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. RR )
51	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. CC )
52		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. CC )
53		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
55	51, 52, 54	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( P - 1 ) )
56		phiprm 15482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
57	2, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
58	55, 57	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( phi ` P ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( phi ` P ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( y ^ ( 2 x. ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( y ^ ( phi ` P ) ) )
61	45, 60	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( y ^ 2 ) ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( y ^ ( phi ` P ) ) )
62	61	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( y ^ ( phi ` P ) ) mod P ) )
63	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. Prime )
64	63, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
65	47	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. ZZ )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
67		gcdcom 15235	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( y gcd P ) = ( P gcd y ) )
68	22, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( y gcd P ) = ( P gcd y ) )
69	37	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> y e. RR )
70	50	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
72	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. RR )
73		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
75		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76	2, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
77		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN )
79	78	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. RR+ )
80		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P - 1 ) e. RR+ -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < ( P - 1 ) )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < ( P - 1 ) )
82	48	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P - 1 ) < P )
83	70, 50, 48, 81, 82	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
85	69, 71, 72, 74, 84	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> y < P )
86	69, 72	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( y < P <-> -. P <_ y ) )
87	85, 86	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P <_ y )
88		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( P || y -> P <_ y ) )
89	66, 37, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P || y -> P <_ y ) )
90	87, 89	mtod 189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || y )
91		coprm 15423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ y e. ZZ ) -> ( -. P || y <-> ( P gcd y ) = 1 ) )
92	63, 22, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -. P || y <-> ( P gcd y ) = 1 ) )
93	90, 92	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P gcd y ) = 1 )
94	68, 93	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( y gcd P ) = 1 )
95		eulerth 15488	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ y e. ZZ /\ ( y gcd P ) = 1 ) -> ( ( y ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
96	64, 22, 94, 95	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( y ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
97	62, 96	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
98	3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 97	lgsqrlem1 25071	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( O ` T ) ` ( L ` ( y ^ 2 ) ) ) = ( 0g ` Y ) )
99		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Y ^s ( Base ` Y ) ) = ( Y ^s ( Base ` Y ) )
100		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( Y ^s ( Base ` Y ) ) ) = ( Base ` ( Y ^s ( Base ` Y ) ) )
101		fvexd 6203	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` Y ) e. _V )
102	29, 26, 99, 17	evl1rhm 19696	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. CRing -> O e. ( S RingHom ( Y ^s ( Base ` Y ) ) ) )
103	10, 102	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> O e. ( S RingHom ( Y ^s ( Base ` Y ) ) ) )
104	27, 100	rhmf 18726	. . . . . . . . . 10 |- ( O e. ( S RingHom ( Y ^s ( Base ` Y ) ) ) -> O : B --> ( Base ` ( Y ^s ( Base ` Y ) ) ) )
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> O : B --> ( Base ` ( Y ^s ( Base ` Y ) ) ) )
106	26	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. Ring -> S e. Ring )
107	12, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. Ring )
108		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. Ring -> S e. Grp )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. Grp )
110		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (mulGrp ` S ) = (mulGrp ` S )
111	110	ringmgp 18553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. Ring -> (mulGrp ` S ) e. Mnd )
112	107, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (mulGrp ` S ) e. Mnd )
113	31, 26, 27	vr1cl 19587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. Ring -> X e. B )
114	12, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. B )
115	110, 27	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` (mulGrp ` S ) )
116	115, 30	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mulGrp ` S ) e. Mnd /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B )
117	112, 41, 114, 116	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B )
118	27, 33	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. Ring -> .1. e. B )
119	107, 118	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .1. e. B )
120	27, 32	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Grp /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ .1. e. B ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) e. B )
121	109, 117, 119, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) e. B )
122	34, 121	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. B )
123	105, 122	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` T ) e. ( Base ` ( Y ^s ( Base ` Y ) ) ) )
124	99, 17, 100, 5, 101, 123	pwselbas 16149	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( O ` T ) : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Y ) )
125		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( ( O ` T ) : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Y ) -> ( O ` T ) Fn ( Base ` Y ) )
126	124, 125	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ` T ) Fn ( Base ` Y ) )
127	126	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( O ` T ) Fn ( Base ` Y ) )
128		fniniseg 6338	. . . . 5 |- ( ( O ` T ) Fn ( Base ` Y ) -> ( ( L ` ( y ^ 2 ) ) e. ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) <-> ( ( L ` ( y ^ 2 ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( O ` T ) ` ( L ` ( y ^ 2 ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
129	127, 128	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( y ^ 2 ) ) e. ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) <-> ( ( L ` ( y ^ 2 ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( O ` T ) ` ( L ` ( y ^ 2 ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
130	25, 98, 129	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( y ^ 2 ) ) e. ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )
131		lgsqr.g	. . 3 |- G = ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( y ^ 2 ) ) )
132	130, 131	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )
133		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( L ` ( y ^ 2 ) ) = ( L ` ( x ^ 2 ) ) )
135		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( x ^ 2 ) ) e. _V
136	134, 131, 135	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( G ` x ) = ( L ` ( x ^ 2 ) ) )
137	136	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( G ` x ) = ( L ` ( x ^ 2 ) ) )
138		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y ^ 2 ) = ( z ^ 2 ) )
139	138	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( L ` ( y ^ 2 ) ) = ( L ` ( z ^ 2 ) ) )
140		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( z ^ 2 ) ) e. _V
141	139, 131, 140	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( G ` z ) = ( L ` ( z ^ 2 ) ) )
142	141	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( G ` z ) = ( L ` ( z ^ 2 ) ) )
143	137, 142	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( G ` x ) = ( G ` z ) <-> ( L ` ( x ^ 2 ) ) = ( L ` ( z ^ 2 ) ) ) )
144	47	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN0 )
145	144	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. NN0 )
146		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. ZZ )
147	146	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
148		zsqcl 12934	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
149	147, 148	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
150		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> z e. ZZ )
151	150	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> z e. ZZ )
152		zsqcl 12934	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ -> ( z ^ 2 ) e. ZZ )
153	151, 152	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( z ^ 2 ) e. ZZ )
154	3, 13	zndvds 19898	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN0 /\ ( x ^ 2 ) e. ZZ /\ ( z ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( x ^ 2 ) ) = ( L ` ( z ^ 2 ) ) <-> P || ( ( x ^ 2 ) - ( z ^ 2 ) ) ) )
155	145, 149, 153, 154	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( L ` ( x ^ 2 ) ) = ( L ` ( z ^ 2 ) ) <-> P || ( ( x ^ 2 ) - ( z ^ 2 ) ) ) )
156		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
157	156	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. NN )
158	157	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. CC )
159		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> z e. NN )
160	159	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> z e. NN )
161	160	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> z e. CC )
162		subsq 12972	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( z ^ 2 ) ) = ( ( x + z ) x. ( x - z ) ) )
163	158, 161, 162	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( z ^ 2 ) ) = ( ( x + z ) x. ( x - z ) ) )
164	163	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( x ^ 2 ) - ( z ^ 2 ) ) <-> P || ( ( x + z ) x. ( x - z ) ) ) )
165	143, 155, 164	3bitrd 294	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( G ` x ) = ( G ` z ) <-> P || ( ( x + z ) x. ( x - z ) ) ) )
166	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. Prime )
167	147, 151	zaddcld 11486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + z ) e. ZZ )
168	147, 151	zsubcld 11487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x - z ) e. ZZ )
169		euclemma 15425	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( x + z ) e. ZZ /\ ( x - z ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( x + z ) x. ( x - z ) ) <-> ( P || ( x + z ) \/ P || ( x - z ) ) ) )
170	166, 167, 168, 169	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( x + z ) x. ( x - z ) ) <-> ( P || ( x + z ) \/ P || ( x - z ) ) ) )
171	166, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. NN )
172	171	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. ZZ )
173	157, 160	nnaddcld 11067	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + z ) e. NN )
174		dvdsle 15032	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( x + z ) e. NN ) -> ( P || ( x + z ) -> P <_ ( x + z ) ) )
175	172, 173, 174	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( x + z ) -> P <_ ( x + z ) ) )
176	173	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + z ) e. RR )
177	171	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. RR )
178	177, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
179	157	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. RR )
180	160	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> z e. RR )
181	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
182		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
183	182	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
184		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> z <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
185	184	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> z <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
186	179, 180, 181, 181, 183, 185	le2addd 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + z ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
187	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P - 1 ) e. CC )
188	187	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( P - 1 ) )
189	186, 188	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + z ) <_ ( P - 1 ) )
190	177	ltm1d 10956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P - 1 ) < P )
191	176, 178, 177, 189, 190	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + z ) < P )
192	176, 177	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( x + z ) < P <-> -. P <_ ( x + z ) ) )
193	191, 192	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -. P <_ ( x + z ) )
194	193	pm2.21d 118	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P <_ ( x + z ) -> x = z ) )
195	175, 194	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( x + z ) -> x = z ) )
196		moddvds 14991	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. NN /\ x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( x mod P ) = ( z mod P ) <-> P || ( x - z ) ) )
197	171, 147, 151, 196	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( x mod P ) = ( z mod P ) <-> P || ( x - z ) ) )
198	171	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. RR+ )
199	157	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. NN0 )
200	199	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 0 <_ x )
201	83	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
202	179, 181, 177, 183, 201	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x < P )
203		modid 12695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x < P ) ) -> ( x mod P ) = x )
204	179, 198, 200, 202, 203	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x mod P ) = x )
205	160	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> z e. NN0 )
206	205	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 0 <_ z )
207	180, 181, 177, 185, 201	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> z < P )
208		modid 12695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ z /\ z < P ) ) -> ( z mod P ) = z )
209	180, 198, 206, 207, 208	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( z mod P ) = z )
210	204, 209	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( x mod P ) = ( z mod P ) <-> x = z ) )
211	197, 210	bitr3d 270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( x - z ) <-> x = z ) )
212	211	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( x - z ) -> x = z ) )
213	195, 212	jaod 395	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P || ( x + z ) \/ P || ( x - z ) ) -> x = z ) )
214	170, 213	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( x + z ) x. ( x - z ) ) -> x = z ) )
215	165, 214	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( G ` x ) = ( G ` z ) -> x = z ) )
216	215	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( G ` x ) = ( G ` z ) -> x = z ) )
217		dff13 6512	. 2 |- ( G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) <-> ( G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) /\ A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( G ` x ) = ( G ` z ) -> x = z ) ) )
218	132, 216, 217	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   phicphi 15469   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ^_s cpws 16107   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  Fieldcfield 18748  Domncdomn 19280  IDomncidom 19281  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  eval₁ce1 19679  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-evl1 19681  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25074