Theorem tanord1 24283

Description: The tangent function is strictly increasing on the nonnegative part of its principal domain. (Lemma for tanord 24284.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.) Revised to replace an OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 20-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
tanord1	|- ( ( A e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( tan ` A ) < ( tan ` B ) ) )

Proof of Theorem tanord1

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1487	. 2 |- T.
2		fveq2 6191	. . 3 |- ( x = y -> ( tan ` x ) = ( tan ` y ) )
3		fveq2 6191	. . 3 |- ( x = A -> ( tan ` x ) = ( tan ` A ) )
4		fveq2 6191	. . 3 |- ( x = B -> ( tan ` x ) = ( tan ` B ) )
5		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
6		halfpire 24216	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
7	6	rexri 10097	. . . 4 |- ( pi / 2 ) e. RR*
8		icossre 12254	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) C_ RR )
9	5, 7, 8	mp2an 708	. . 3 |- ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) C_ RR
10	9	sseli 3599	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> x e. RR )
11		neghalfpirx 24218	. . . . . . . . 9 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
12		pire 24210	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
13		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
14		pipos 24212	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < pi
15		2pos 11112	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
16	12, 13, 14, 15	divgt0ii 10941	. . . . . . . . . 10 |- 0 < ( pi / 2 )
17		lt0neg2 10535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 ) )
18	6, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 )
19	16, 18	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- -u ( pi / 2 ) < 0
20		df-ioo 12179	. . . . . . . . . 10 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
21		df-ico 12181	. . . . . . . . . 10 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
22		xrltletr 11988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ 0 e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( -u ( pi / 2 ) < 0 /\ 0 <_ w ) -> -u ( pi / 2 ) < w ) )
23	20, 21, 22	ixxss1 12193	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ -u ( pi / 2 ) < 0 ) -> ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
24	11, 19, 23	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) )
25	24	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
26		cosq14gt0 24262	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` x ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` x ) )
28	27	gt0ne0d 10592	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` x ) =/= 0 )
29	10, 28	retancld 14875	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` x ) e. RR )
30	29	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( tan ` x ) e. RR )
31	10	resincld 14873	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` x ) e. RR )
32	10	recoscld 14874	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` x ) e. RR )
33	31, 32, 28	redivcld 10853	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) e. RR )
34	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) e. RR )
35	9	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> y e. RR )
36	35	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> y e. RR )
37	36	resincld 14873	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( sin ` y ) e. RR )
38	32	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( cos ` x ) e. RR )
39	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( cos ` x ) =/= 0 )
40	37, 38, 39	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( ( sin ` y ) / ( cos ` x ) ) e. RR )
41	36	recoscld 14874	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( cos ` y ) e. RR )
42	24	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
43		cosq14gt0 24262	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` y ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` y ) )
45	44	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` y ) =/= 0 )
46	45	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( cos ` y ) =/= 0 )
47	37, 41, 46	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( ( sin ` y ) / ( cos ` y ) ) e. RR )
48		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) )
49	24, 48	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) )
50	49	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
51	49	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
52		sinord 24280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( x < y <-> ( sin ` x ) < ( sin ` y ) ) )
53	50, 51, 52	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( x < y <-> ( sin ` x ) < ( sin ` y ) ) )
54	53	biimp3a 1432	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( sin ` x ) < ( sin ` y ) )
55	10	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> x e. RR )
56	55	resincld 14873	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( sin ` x ) e. RR )
57	27	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> 0 < ( cos ` x ) )
58		ltdiv1 10887	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sin ` x ) e. RR /\ ( sin ` y ) e. RR /\ ( ( cos ` x ) e. RR /\ 0 < ( cos ` x ) ) ) -> ( ( sin ` x ) < ( sin ` y ) <-> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) < ( ( sin ` y ) / ( cos ` x ) ) ) )
59	56, 37, 38, 57, 58	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( ( sin ` x ) < ( sin ` y ) <-> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) < ( ( sin ` y ) / ( cos ` x ) ) ) )
60	54, 59	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) < ( ( sin ` y ) / ( cos ` x ) ) )
61	12	rexri 10097	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR*
62		pirp 24213	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR+
63		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi / 2 ) < pi
65		df-icc 12182	. . . . . . . . . . . . 13 |- [,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
66		xrlttr 11973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( w < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) < pi ) -> w < pi ) )
67		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( w < pi -> w <_ pi ) )
68	67	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( w < pi -> w <_ pi ) )
69	66, 68	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( w < ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) < pi ) -> w <_ pi ) )
70	65, 21, 69	ixxss2 12194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( pi e. RR* /\ ( pi / 2 ) < pi ) -> ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) C_ ( 0 [,] pi ) )
71	61, 64, 70	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) C_ ( 0 [,] pi )
72	71	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> x e. ( 0 [,] pi ) )
73	71	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> y e. ( 0 [,] pi ) )
74		cosord 24278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( x < y <-> ( cos ` y ) < ( cos ` x ) ) )
75	72, 73, 74	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( x < y <-> ( cos ` y ) < ( cos ` x ) ) )
76	75	biimp3a 1432	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( cos ` y ) < ( cos ` x ) )
77		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> 0 e. RR )
78		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) )
79		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < ( pi / 2 ) ) ) )
80	5, 7, 79	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < ( pi / 2 ) ) )
81	78, 80	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < ( pi / 2 ) ) )
82	81	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> 0 <_ x )
83		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> x < y )
84	77, 55, 36, 82, 83	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> 0 < y )
85		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) )
86		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y /\ y < ( pi / 2 ) ) ) )
87	5, 7, 86	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y /\ y < ( pi / 2 ) ) )
88	85, 87	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( y e. RR /\ 0 <_ y /\ y < ( pi / 2 ) ) )
89	88	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> y < ( pi / 2 ) )
90		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR*
91		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( y e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( y e. RR /\ 0 < y /\ y < ( pi / 2 ) ) ) )
92	90, 7, 91	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( y e. RR /\ 0 < y /\ y < ( pi / 2 ) ) )
93	36, 84, 89, 92	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> y e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
94		sincosq1sgn 24250	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` y ) /\ 0 < ( cos ` y ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( 0 < ( sin ` y ) /\ 0 < ( cos ` y ) ) )
96	95	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> 0 < ( cos ` y ) )
97	95	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> 0 < ( sin ` y ) )
98		ltdiv2 10909	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( cos ` y ) e. RR /\ 0 < ( cos ` y ) ) /\ ( ( cos ` x ) e. RR /\ 0 < ( cos ` x ) ) /\ ( ( sin ` y ) e. RR /\ 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( cos ` y ) < ( cos ` x ) <-> ( ( sin ` y ) / ( cos ` x ) ) < ( ( sin ` y ) / ( cos ` y ) ) ) )
99	41, 96, 38, 57, 37, 97, 98	syl222anc 1342	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( ( cos ` y ) < ( cos ` x ) <-> ( ( sin ` y ) / ( cos ` x ) ) < ( ( sin ` y ) / ( cos ` y ) ) ) )
100	76, 99	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( ( sin ` y ) / ( cos ` x ) ) < ( ( sin ` y ) / ( cos ` y ) ) )
101	34, 40, 47, 60, 100	lttrd 10198	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) < ( ( sin ` y ) / ( cos ` y ) ) )
102	10	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> x e. CC )
103		tanval 14858	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( cos ` x ) =/= 0 ) -> ( tan ` x ) = ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) )
104	102, 28, 103	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` x ) = ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) )
105	104	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( tan ` x ) = ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) )
106	35	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) -> y e. CC )
107	106	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> y e. CC )
108		tanval 14858	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ ( cos ` y ) =/= 0 ) -> ( tan ` y ) = ( ( sin ` y ) / ( cos ` y ) ) )
109	107, 46, 108	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( tan ` y ) = ( ( sin ` y ) / ( cos ` y ) ) )
110	101, 105, 109	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) )
111	110	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( x < y -> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) ) )
112	111	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) ) -> ( x < y -> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) ) )
113	2, 3, 4, 9, 30, 112	ltord1 10554	. 2 |- ( ( T. /\ ( A e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) ) -> ( A < B <-> ( tan ` A ) < ( tan ` B ) ) )
114	1, 113	mpan 706	1 |- ( ( A e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( tan ` A ) < ( tan ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sincsin 14794   cosccos 14795   tanctan 14796   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  tanord  24284