Theorem chebbnd1lem2 25159

Description: Lemma for chebbnd1 25161: Show that log ( N ) / N does not change too much between N and M = |_ ( N / 2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem2.1	|- M = ( |_ ` ( N / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem2	|- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) < ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 11837	. . . . 5 |- 2 e. RR+
2		4nn 11187	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
3		4z 11411	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 e. ZZ )
5		chebbnd1lem2.1	. . . . . . . . 9 |- M = ( |_ ` ( N / 2 ) )
6		rehalfcl 11258	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( N / 2 ) e. RR )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( N / 2 ) e. RR )
8	7	flcld 12599	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
9	5, 8	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. ZZ )
10		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 x. 2 ) = 8
11		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 8 <_ N )
12	10, 11	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 4 x. 2 ) <_ N )
13		4re 11097	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 e. RR )
15		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> N e. RR )
16		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 e. RR )
18		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 < 2 )
20		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 4 x. 2 ) <_ N <-> 4 <_ ( N / 2 ) ) )
21	14, 15, 17, 19, 20	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( 4 x. 2 ) <_ N <-> 4 <_ ( N / 2 ) ) )
22	12, 21	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 <_ ( N / 2 ) )
23		flge 12606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ 4 e. ZZ ) -> ( 4 <_ ( N / 2 ) <-> 4 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
24	7, 3, 23	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 4 <_ ( N / 2 ) <-> 4 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
25	22, 24	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) )
26	25, 5	syl6breqr 4695	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 <_ M )
27		eluz2 11693	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` 4 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 4 <_ M ) )
28	4, 9, 26, 27	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` 4 ) )
29		eluznn 11758	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` 4 ) ) -> M e. NN )
30	2, 28, 29	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. NN )
31	30	nnrpd 11870	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. RR+ )
32		rpmulcl 11855	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR+ /\ M e. RR+ ) -> ( 2 x. M ) e. RR+ )
33	1, 31, 32	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. M ) e. RR+ )
34	33	relogcld 24369	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( 2 x. M ) ) e. RR )
35	34, 33	rerpdivcld 11903	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) e. RR )
36		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 e. RR )
37		8re 11105	. . . . . . . 8 |- 8 e. RR
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 8 e. RR )
39		8pos 11121	. . . . . . . 8 |- 0 < 8
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 < 8 )
41	36, 38, 15, 40, 11	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 < N )
42	15, 41	elrpd 11869	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> N e. RR+ )
43	42	rphalfcld 11884	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( N / 2 ) e. RR+ )
44	43	relogcld 24369	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( N / 2 ) ) e. RR )
45	44, 43	rerpdivcld 11903	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( N / 2 ) ) / ( N / 2 ) ) e. RR )
46	42	relogcld 24369	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` N ) e. RR )
47	46, 42	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` N ) / N ) e. RR )
48		remulcl 10021	. . 3 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( log ` N ) / N ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) e. RR )
49	16, 47, 48	sylancr 695	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) e. RR )
50	9	zred 11482	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. RR )
51		peano2re 10209	. . . . 5 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
52	50, 51	syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( M + 1 ) e. RR )
53		remulcl 10021	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ M e. RR ) -> ( 2 x. M ) e. RR )
54	16, 50, 53	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. M ) e. RR )
55		flltp1 12601	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. RR -> ( N / 2 ) < ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) + 1 ) )
56	7, 55	syl 17	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( N / 2 ) < ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) + 1 ) )
57	5	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( M + 1 ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) + 1 )
58	56, 57	syl6breqr 4695	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( N / 2 ) < ( M + 1 ) )
59		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 1 e. RR )
60	30	nnge1d 11063	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 1 <_ M )
61	59, 50, 50, 60	leadd2dd 10642	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( M + 1 ) <_ ( M + M ) )
62	50	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. CC )
63	62	2timesd 11275	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. M ) = ( M + M ) )
64	61, 63	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( M + 1 ) <_ ( 2 x. M ) )
65	7, 52, 54, 58, 64	ltletrd 10197	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( N / 2 ) < ( 2 x. M ) )
66		ere 14819	. . . . . 6 |- _e e. RR
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e e. RR )
68		egt2lt3 14934	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
69	68	simpri 478	. . . . . . . 8 |- _e < 3
70		3lt4 11197	. . . . . . . 8 |- 3 < 4
71		3re 11094	. . . . . . . . 9 |- 3 e. RR
72	66, 71, 13	lttri 10163	. . . . . . . 8 |- ( ( _e < 3 /\ 3 < 4 ) -> _e < 4 )
73	69, 70, 72	mp2an 708	. . . . . . 7 |- _e < 4
74	73	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e < 4 )
75	67, 14, 7, 74, 22	ltletrd 10197	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e < ( N / 2 ) )
76	67, 7, 75	ltled 10185	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e <_ ( N / 2 ) )
77	67, 7, 54, 75, 65	lttrd 10198	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e < ( 2 x. M ) )
78	67, 54, 77	ltled 10185	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e <_ ( 2 x. M ) )
79		logdivlt 24367	. . . 4 |- ( ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ _e <_ ( N / 2 ) ) /\ ( ( 2 x. M ) e. RR /\ _e <_ ( 2 x. M ) ) ) -> ( ( N / 2 ) < ( 2 x. M ) <-> ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) < ( ( log ` ( N / 2 ) ) / ( N / 2 ) ) ) )
80	7, 76, 54, 78, 79	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( N / 2 ) < ( 2 x. M ) <-> ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) < ( ( log ` ( N / 2 ) ) / ( N / 2 ) ) ) )
81	65, 80	mpbid 222	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) < ( ( log ` ( N / 2 ) ) / ( N / 2 ) ) )
82		rphalflt 11860	. . . . . 6 |- ( N e. RR+ -> ( N / 2 ) < N )
83	42, 82	syl 17	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( N / 2 ) < N )
84		logltb 24346	. . . . . 6 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( ( N / 2 ) < N <-> ( log ` ( N / 2 ) ) < ( log ` N ) ) )
85	43, 42, 84	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( N / 2 ) < N <-> ( log ` ( N / 2 ) ) < ( log ` N ) ) )
86	83, 85	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( N / 2 ) ) < ( log ` N ) )
87	44, 46, 43, 86	ltdiv1dd 11929	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( N / 2 ) ) / ( N / 2 ) ) < ( ( log ` N ) / ( N / 2 ) ) )
88	46	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` N ) e. CC )
89	15	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> N e. CC )
90	17	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 e. CC )
91	42	rpne0d 11877	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> N =/= 0 )
92		2ne0 11113	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
93	92	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 =/= 0 )
94	88, 89, 90, 91, 93	divdiv2d 10833	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` N ) / ( N / 2 ) ) = ( ( ( log ` N ) x. 2 ) / N ) )
95	88, 90	mulcomd 10061	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` N ) x. 2 ) = ( 2 x. ( log ` N ) ) )
96	95	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` N ) x. 2 ) / N ) = ( ( 2 x. ( log ` N ) ) / N ) )
97	90, 88, 89, 91	divassd 10836	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( 2 x. ( log ` N ) ) / N ) = ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) )
98	94, 96, 97	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` N ) / ( N / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) )
99	87, 98	breqtrd 4679	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( N / 2 ) ) / ( N / 2 ) ) < ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) )
100	35, 45, 49, 81, 99	lttrd 10198	1 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) < ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   8c8 11076   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   |_cfl 12591   _eceu 14793   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  25160