Theorem itg2monolem3 23519

Description: Lemma for itg2mono 23520. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	|- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
itg2mono.2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
itg2mono.3	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
itg2mono.5	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
itg2mono.6	|- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )
itg2monolem2.7	|- ( ph -> P e. dom S.1 )
itg2monolem2.8	|- ( ph -> P oR <_ G )
itg2monolem2.9	|- ( ph -> -. ( S.1 ` P ) <_ S )

Assertion

Ref	Expression
itg2monolem3	|- ( ph -> ( S.1 ` P ) <_ S )

Distinct variable groups:   x, n, y, G   P, n, x, y   n, F, x, y   ph, n, x, y   S, n, x, y

Proof of Theorem itg2monolem3

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
2		itg2mono.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
3		itg2mono.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
4		itg2mono.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
5		itg2mono.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
6		itg2mono.6	. . . . . . . . . 10 |- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )
7		itg2monolem2.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. dom S.1 )
8		itg2monolem2.8	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P oR <_ G )
9		itg2monolem2.9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( S.1 ` P ) <_ S )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	itg2monolem2 23518	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. RR )
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> S e. RR )
12	11	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> S e. CC )
13	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> P e. dom S.1 )
14		itg1cl 23452	. . . . . . . . 9 |- ( P e. dom S.1 -> ( S.1 ` P ) e. RR )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S.1 ` P ) e. RR )
16	15	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S.1 ` P ) e. CC )
17		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> t e. RR+ )
18	17	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> t e. RR )
19	11, 18	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S + t ) e. RR )
20	19	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S + t ) e. CC )
21		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> 0 e. RR )
22		0xr 10086	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR* )
24		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN
25		icossicc 12260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
26		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
27	3, 25, 26	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
28	27	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
30	29	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) )
31	30	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) )
32	24, 28, 31	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
33		itg2cl 23499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) e. RR* )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) e. RR* )
35		itg2cl 23499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
36	27, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) )
38	36, 37	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* )
39		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
41		supxrcl 12145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
43	6, 42	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. RR* )
44		itg2ge0 23502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) )
45	32, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) )
46	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 1 -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) = ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) )
47		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) e. _V
48	46, 37, 47	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` 1 ) = ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) )
49	24, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` 1 ) = ( S.2 ` ( F ` 1 ) )
50		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
51	38, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
52		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN /\ 1 e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) )
53	51, 24, 52	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) )
54	49, 53	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) )
55		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* /\ ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) )
56	40, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) )
57	56, 6	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S.2 ` ( F ` 1 ) ) <_ S )
58	23, 34, 43, 45, 57	xrletrd 11993	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ S )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> 0 <_ S )
60	11, 17	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> S < ( S + t ) )
61	21, 11, 19, 59, 60	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> 0 < ( S + t ) )
62	61	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S + t ) =/= 0 )
63	12, 16, 20, 62	div23d 10838	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( S x. ( S.1 ` P ) ) / ( S + t ) ) = ( ( S / ( S + t ) ) x. ( S.1 ` P ) ) )
64	11, 19, 62	redivcld 10853	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S / ( S + t ) ) e. RR )
65	64, 15	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( S / ( S + t ) ) x. ( S.1 ` P ) ) e. RR )
66		halfre 11246	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) e. RR
67		ifcl 4130	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S / ( S + t ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) e. RR )
68	64, 66, 67	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) e. RR )
69	68, 15	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( S.1 ` P ) ) e. RR )
70		max2 12018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( S / ( S + t ) ) e. RR ) -> ( S / ( S + t ) ) <_ if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) )
71	66, 64, 70	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S / ( S + t ) ) <_ if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) )
72	7, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S.1 ` P ) e. RR )
73	72	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S.1 ` P ) e. RR* )
74		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. RR* /\ ( S.1 ` P ) e. RR* ) -> ( S < ( S.1 ` P ) <-> -. ( S.1 ` P ) <_ S ) )
75	43, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S < ( S.1 ` P ) <-> -. ( S.1 ` P ) <_ S ) )
76	9, 75	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S < ( S.1 ` P ) )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> S < ( S.1 ` P ) )
78	21, 11, 15, 59, 77	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> 0 < ( S.1 ` P ) )
79		lemul1 10875	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S / ( S + t ) ) e. RR /\ if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( ( S.1 ` P ) e. RR /\ 0 < ( S.1 ` P ) ) ) -> ( ( S / ( S + t ) ) <_ if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) <-> ( ( S / ( S + t ) ) x. ( S.1 ` P ) ) <_ ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( S.1 ` P ) ) ) )
80	64, 68, 15, 78, 79	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( S / ( S + t ) ) <_ if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) <-> ( ( S / ( S + t ) ) x. ( S.1 ` P ) ) <_ ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( S.1 ` P ) ) ) )
81	71, 80	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( S / ( S + t ) ) x. ( S.1 ` P ) ) <_ ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( S.1 ` P ) ) )
82	2	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
83	3	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
84	4	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
85	5	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
86	66	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
87		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < ( 1 / 2 )
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> 0 < ( 1 / 2 ) )
89		max1 12016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( S / ( S + t ) ) e. RR ) -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) )
90	66, 64, 89	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) )
91	21, 86, 68, 88, 90	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> 0 < if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) )
92	20	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( S + t ) x. 1 ) = ( S + t ) )
93	60, 92	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> S < ( ( S + t ) x. 1 ) )
94		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> 1 e. RR )
95		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( S + t ) e. RR /\ 0 < ( S + t ) ) ) -> ( ( S / ( S + t ) ) < 1 <-> S < ( ( S + t ) x. 1 ) ) )
96	11, 94, 19, 61, 95	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( S / ( S + t ) ) < 1 <-> S < ( ( S + t ) x. 1 ) ) )
97	93, 96	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S / ( S + t ) ) < 1 )
98		halflt1 11250	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) < 1
99		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S / ( S + t ) ) = if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) -> ( ( S / ( S + t ) ) < 1 <-> if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) < 1 ) )
100		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) = if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) < 1 ) )
101	99, 100	ifboth 4124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S / ( S + t ) ) < 1 /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) -> if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) < 1 )
102	97, 98, 101	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) < 1 )
103		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
104	103	rexri 10097	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
105		elioo2 12216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ 0 < if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) /\ if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) < 1 ) ) )
106	22, 104, 105	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ 0 < if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) /\ if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) < 1 ) )
107	68, 91, 102, 106	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 (,) 1 ) )
108	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> P oR <_ G )
109		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( P ` y ) = ( P ` x ) )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( P ` y ) ) = ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( P ` x ) ) )
111		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( F ` n ) ` y ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
112	110, 111	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( P ` y ) ) <_ ( ( F ` n ) ` y ) <-> ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( P ` x ) ) <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) )
113	112	cbvrabv 3199	. . . . . . . . 9 |- { y e. RR | ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( P ` y ) ) <_ ( ( F ` n ) ` y ) } = { x e. RR | ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( P ` x ) ) <_ ( ( F ` n ) ` x ) }
114	113	mpteq2i 4741	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> { y e. RR | ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( P ` y ) ) <_ ( ( F ` n ) ` y ) } ) = ( n e. NN |-> { x e. RR | ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( P ` x ) ) <_ ( ( F ` n ) ` x ) } )
115	1, 82, 83, 84, 85, 6, 107, 13, 108, 11, 114	itg2monolem1 23517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( S.1 ` P ) ) <_ S )
116	65, 69, 11, 81, 115	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( S / ( S + t ) ) x. ( S.1 ` P ) ) <_ S )
117	63, 116	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( S x. ( S.1 ` P ) ) / ( S + t ) ) <_ S )
118	11, 15	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S x. ( S.1 ` P ) ) e. RR )
119		ledivmul2 10902	. . . . . 6 |- ( ( ( S x. ( S.1 ` P ) ) e. RR /\ S e. RR /\ ( ( S + t ) e. RR /\ 0 < ( S + t ) ) ) -> ( ( ( S x. ( S.1 ` P ) ) / ( S + t ) ) <_ S <-> ( S x. ( S.1 ` P ) ) <_ ( S x. ( S + t ) ) ) )
120	118, 11, 19, 61, 119	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( ( S x. ( S.1 ` P ) ) / ( S + t ) ) <_ S <-> ( S x. ( S.1 ` P ) ) <_ ( S x. ( S + t ) ) ) )
121	117, 120	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S x. ( S.1 ` P ) ) <_ ( S x. ( S + t ) ) )
122	68, 15, 91, 78	mulgt0d 10192	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> 0 < ( if ( ( 1 / 2 ) <_ ( S / ( S + t ) ) , ( S / ( S + t ) ) , ( 1 / 2 ) ) x. ( S.1 ` P ) ) )
123	21, 69, 11, 122, 115	ltletrd 10197	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> 0 < S )
124		lemul2 10876	. . . . 5 |- ( ( ( S.1 ` P ) e. RR /\ ( S + t ) e. RR /\ ( S e. RR /\ 0 < S ) ) -> ( ( S.1 ` P ) <_ ( S + t ) <-> ( S x. ( S.1 ` P ) ) <_ ( S x. ( S + t ) ) ) )
125	15, 19, 11, 123, 124	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( S.1 ` P ) <_ ( S + t ) <-> ( S x. ( S.1 ` P ) ) <_ ( S x. ( S + t ) ) ) )
126	121, 125	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( S.1 ` P ) <_ ( S + t ) )
127	126	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. t e. RR+ ( S.1 ` P ) <_ ( S + t ) )
128		alrple 12037	. . 3 |- ( ( ( S.1 ` P ) e. RR /\ S e. RR ) -> ( ( S.1 ` P ) <_ S <-> A. t e. RR+ ( S.1 ` P ) <_ ( S + t ) ) )
129	72, 10, 128	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( S.1 ` P ) <_ S <-> A. t e. RR+ ( S.1 ` P ) <_ ( S + t ) ) )
130	127, 129	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( S.1 ` P ) <_ S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390

This theorem is referenced by:  itg2mono  23520