2sqmod - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem 2sqmod 29648

Description: Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sqmod.1
2sqmod.2
2sqmod.3
2sqmod.4
2sqmod.5
2sqmod.6
2sqmod.7
2sqmod.8
2sqmod.9

**Assertion**
Ref	Expression
2sqmod	$/\$

**Proof of Theorem 2sqmod**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqmod.6	. . . . . 6
2	1	adantr 481	. . . . 5 $/\$
3		2sqmod.4	. . . . . . . 8
4	3	nn0red 11352	. . . . . . 7
5	4	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
6		2sqmod.3	. . . . . . . 8
7	6	nn0red 11352	. . . . . . 7
8	7	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
9	3	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7
10	9	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
11	6	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7
12	11	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
13	3	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9
14	13	sqcld 13006	. . . . . . . 8
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
16	6	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9
17	16	sqcld 13006	. . . . . . . 8
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
19		2sqmod.2	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12
21	20	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11
22		2sqmod.5	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12
24	23	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11
25		2sqmod.8	. . . . . . . . . . . 12
26		2sqmod.9	. . . . . . . . . . . 12
27	25, 26	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11
28	21, 17, 14, 24, 27	subaddeqd 10446	. . . . . . . . . 10
29	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
30	19	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	3	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
33	30, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
35	20, 13	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
37	16, 23	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	19	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
40	39, 4	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41	22	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42	7, 41	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43	40, 42	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
46	43	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47		2sqmod.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
48	6	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
49	47, 30, 48, 25	2sqn0 29646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
50		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
51	19, 49, 50	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
52	22	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
53	24, 14	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
54	53, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
55	47, 52, 31, 54	2sqn0 29646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
56		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
57	22, 55, 56	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
58	51, 57	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
59	47, 31, 52, 26	2sqn0 29646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
60		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
61	3, 59, 60	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
62	17, 21	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
63	62, 25	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
64	47, 48, 30, 63	2sqn0 29646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
65		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
66	6, 64, 65	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
67	61, 66	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
68	58, 67	nnaddcld 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
69	68	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70	69	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
71	43	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
72	70, 71	addge02d 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
73	46, 72	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
74	25, 26	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
75		bhmafibid1 29644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
76	39, 7, 4, 41, 75	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77	74, 76	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
78		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
79	47, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
80	79	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81	80	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82	13, 16	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84	83	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
86	77, 81, 85	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
87	73, 86	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
89	30, 52	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
90	31, 48	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
91	89, 90	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
92		dvdssqim 15273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
93	79, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
94		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
95	79, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
96		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
97	95, 69, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98	93, 97	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
99	98	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
100	95	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
101	70, 100	letri3d 10179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
103	88, 99, 102	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
104	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
105	103, 104	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
106	70	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108	106, 106, 107	subadd2d 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
110	105, 109	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
111	106	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
113	110, 112	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
114	45, 113	sqeq0d 13007	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	36, 38, 114	subeq0d 10400	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116	34, 115	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
117	47, 30, 48, 25	2sqcoprm 29647	. . . . . . . . . . . . . 14
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
119		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	30, 48, 52, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
122	116, 118, 121	mp2and 715	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
124	30, 57, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
126	122, 125	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 $/\$
127	51	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14
128	127	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
129	22	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . 13
130		le2sq 12938	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
131	128, 41, 129, 130	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
133	126, 132	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$
134	51	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . 13
135	134	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12
136		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . 14
137	52, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
138	137	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12
139	135, 138	suble0d 10618	. . . . . . . . . . 11
140	139	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
141	133, 140	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$
142	29, 141	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 $/\$
143		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
144	48, 52, 143	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
146	145, 115	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
147		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
148	30, 48, 147	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14
149	148, 117	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
151		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
152	48, 30, 31, 151	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
153	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
154	146, 150, 153	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 $/\$
155		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
156	48, 61, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
158	154, 157	mpd 15	. . . . . . . . . 10 $/\$
159	7, 4, 11, 9	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . 11
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
161	158, 160	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$
162	4	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11
163		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . 13
164	48, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
165	164	zred 11482	. . . . . . . . . . 11
166	162, 165	subge0d 10617	. . . . . . . . . 10
167	166	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
168	161, 167	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$
169	135, 138	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11
170	28, 169	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10
171		0red 10041	. . . . . . . . . 10
172	170, 171	letri3d 10179	. . . . . . . . 9 $/\$
173	172	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
174	142, 168, 173	mpbir2and 957	. . . . . . 7 $/\$
175	15, 18, 174	subeq0d 10400	. . . . . 6 $/\$
176	5, 8, 10, 12, 175	sq11d 13045	. . . . 5 $/\$
177	2, 176	breqtrrd 4681	. . . 4 $/\$
178		2sqmod.7	. . . . . 6
179	178	adantr 481	. . . . 5 $/\$
180	39	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
181	41	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
182	19	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7
183	182	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
184	129	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
185	21	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
186	24	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
187	168, 29	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 $/\$
188	169, 171	letri3d 10179	. . . . . . . . 9 $/\$
189	188	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
190	141, 187, 189	mpbir2and 957	. . . . . . 7 $/\$
191	185, 186, 190	subeq0d 10400	. . . . . 6 $/\$
192	180, 181, 183, 184, 191	sq11d 13045	. . . . 5 $/\$
193	179, 192	breqtrrd 4681	. . . 4 $/\$
194	39, 4	letri3d 10179	. . . . 5 $/\$
195	194	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$
196	177, 193, 195	mpbir2and 957	. . 3 $/\$
197	20	adantr 481	. . . 4 $/\$
198	13	adantr 481	. . . 4 $/\$
199	16	adantr 481	. . . 4 $/\$
200	64	adantr 481	. . . 4 $/\$
201	41	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
202	7	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
203	129	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
204	11	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
205	24	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
206	17	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
207		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . 13
208	47, 207	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
209	208	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11
210	209	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10
211	210	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
212	80, 24, 17	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15
213	80, 24	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16
214	21, 24	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16
215	80, 17	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16
216	14, 17	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16
217	17, 24	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
218	25	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
219	21, 17	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
220	218, 219	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
221	220	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
222	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
223	14, 24	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
224	222, 223	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
225	224	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
226	217, 221, 225	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
227	80, 21, 24	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
228	80, 14, 17	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
229	226, 227, 228	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . 16
230	213, 214, 215, 216, 229	subeqxfrd 29511	. . . . . . . . . . . . . . 15
231	212, 230	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
232	20, 23	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15
233	13, 16	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15
234	232, 233	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
235	20, 23	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15
236	13, 16	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15
237		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
238	235, 236, 237	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14
239	231, 234, 238	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . 13
240	239	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
241	235	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
242		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
243		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
244	243	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
245	89, 90	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
246		dvdssqim 15273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
247	79, 245, 246	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
248	247	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
249	248	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
250	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
251	245	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
252	235	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
253	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
254		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
255	252, 253, 254	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
256	251, 255	znsqcld 29512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
257		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
258	250, 256, 257	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
259	258	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
260	242, 244, 249, 259	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
261	39, 41	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
262	4, 7	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
263	261, 262	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
264	263	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
265	61	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
266	127, 265	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
267	66	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
268	57	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
269	267, 268	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
270	266, 269	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
271		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
272	271	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
273	270, 272	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
274	264, 273	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
275		bhmafibid2 29645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
276	39, 7, 4, 41, 275	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
277	74, 276	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
278	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
279	278	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
280	279	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
281	277, 280	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
282	274, 281	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
283	282, 81	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
284	242, 283	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
285	264, 100	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
286	242, 285	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
287	284, 286	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
288	260, 287	condan 835	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
289	241, 288	subeq0bd 10456	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
290	289	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
291	235, 236	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14
292	291	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . 13
293	292	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
294	240, 290, 293	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 $/\$
295	24, 17	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13
296	80, 295	mul0ord 10677	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
297	296	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
298	294, 297	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$
299	298	ord 392	. . . . . . . . 9 $/\$
300	211, 299	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$
301	205, 206, 300	subeq0d 10400	. . . . . . 7 $/\$
302	201, 202, 203, 204, 301	sq11d 13045	. . . . . 6 $/\$
303	302	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
304	303, 288	eqtr3d 2658	. . . 4 $/\$
305	197, 198, 199, 200, 304	mulcan2ad 10663	. . 3 $/\$
306	137, 164	zsubcld 11487	. . . . . 6
307		dvdsmul1 15003	. . . . . 6 $/\$
308	79, 306, 307	syl2anc 693	. . . . 5
309	308, 239	breqtrd 4679	. . . 4
310		euclemma 15425	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
311	47, 91, 245, 310	syl3anc 1326	. . . 4 $\/$
312	309, 311	mpbid 222	. . 3 $\/$
313	196, 305, 312	mpjaodan 827	. 2
314	313	oveq1d 6665	. . . . 5
315	314	oveq2d 6666	. . . 4
316	315, 220, 224	3eqtr3d 2664	. . 3
317	7, 41, 11, 129, 316	sq11d 13045	. 2
318	313, 317	jca 554	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cexp 12860

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386

This theorem is referenced by: 2sqmo 29649

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