Theorem abelth2 24196

Description: Abel's theorem, restricted to the [ 0 , 1 ] interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth2.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth2.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth2.3	|- F = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
abelth2	|- ( ph -> F e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   ph, n, x

Allowed substitution hints:   F( x, n)

Proof of Theorem abelth2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitssre 12319	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
2		ax-resscn 9993	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
3	1, 2	sstri 3612	. . . . . 6 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 [,] 1 ) C_ CC )
5		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
6		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> z e. ( 0 [,] 1 ) )
7		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
8	7, 5	elicc2i 12239	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( z e. RR /\ 0 <_ z /\ z <_ 1 ) )
9	6, 8	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( z e. RR /\ 0 <_ z /\ z <_ 1 ) )
10	9	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> z e. RR )
11		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ z e. RR ) -> ( 1 - z ) e. RR )
12	5, 10, 11	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - z ) e. RR )
13	12	leidd 10594	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - z ) <_ ( 1 - z ) )
14		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 1 e. RR )
15	9	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> z <_ 1 )
16	10, 14, 15	abssubge0d 14170	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 - z ) ) = ( 1 - z ) )
17	9	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 <_ z )
18	10, 17	absidd 14161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` z ) = z )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( abs ` z ) ) = ( 1 - z ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) = ( 1 x. ( 1 - z ) ) )
21	12	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - z ) e. CC )
22	21	mulid2d 10058	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 x. ( 1 - z ) ) = ( 1 - z ) )
23	20, 22	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) = ( 1 - z ) )
24	13, 16, 23	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) )
25	4, 24	ssrabdv 3681	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 [,] 1 ) C_ { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } )
26	25	resmptd 5452	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( 0 [,] 1 ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
27		abelth2.3	. . 3 |- F = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
28	26, 27	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( 0 [,] 1 ) ) = F )
29		abelth2.1	. . . 4 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
30		abelth2.2	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
31		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
32		0le1 10551	. . . . 5 |- 0 <_ 1
33	32	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
34		eqid 2622	. . . 4 |- { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
35		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) = ( x e. { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
36	29, 30, 31, 33, 34, 35	abelth 24195	. . 3 |- ( ph -> ( x e. { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) e. ( { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } -cn-> CC ) )
37		rescncf 22700	. . 3 |- ( ( 0 [,] 1 ) C_ { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } -> ( ( x e. { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) e. ( { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } -cn-> CC ) -> ( ( x e. { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( 0 [,] 1 ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) ) )
38	25, 36, 37	sylc 65	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( 1 x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( 0 [,] 1 ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
39	28, 38	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> F e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  leibpi  24669