Theorem dirkerper 40313

Description: the Dirichlet Kernel has period 2 pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkerper.1	|- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
dirkerper.2	|- T = ( 2 x. pi )

Assertion

Ref	Expression
dirkerper	|- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = ( ( D ` N ) ` x ) )

Distinct variable groups:   y, N   y, n

Allowed substitution hints:   D( x, y, n)   T( x, y, n)   N( x, n)

Proof of Theorem dirkerper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerper.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( 2 x. pi )
2	1	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. pi ) = T
3	2	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. T )
4		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
5		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
6	4, 5	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. pi ) e. RR
7	1, 6	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- T e. RR
8	7	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- T e. CC
9	8	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. T ) = T
10	3, 9	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) = T
11	10	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( x + T )
12	11	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( x + T ) = ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) )
13	12	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) )
14	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) )
15		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> x e. RR )
16	15	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> x e. RR )
17		2rp 11837	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
18		pirp 24213	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR+
19		rpmulcl 11855	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
20	17, 18, 19	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
22		1z 11407	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> 1 e. ZZ )
24		modcyc 12705	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR+ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
25	16, 21, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
26		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
27	14, 25, 26	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
28	27	iftrued 4094	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
29		iftrue 4092	. . . . 5 |- ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
30	29	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
31	28, 30	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
32		iffalse 4095	. . . . 5 |- ( -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
33	32	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
34		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
35		halfcn 11247	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 1 / 2 ) e. CC )
37	34, 36	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
39		recn 10026	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
40	39	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> x e. CC )
41	38, 40	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) e. CC )
42	41	sincld 14860	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) e. CC )
43	42	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) e. CC )
44	6	recni 10052	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. CC
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
46	40	halfcld 11277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( x / 2 ) e. CC )
47	46	sincld 14860	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( x / 2 ) ) e. CC )
48	45, 47	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) e. CC )
49	48	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) e. CC )
50		dirkerdenne0 40310	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) =/= 0 )
51	50	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) =/= 0 )
52	43, 49, 51	div2negd 10816	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
53	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) )
54	20, 22, 24	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
57		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
58	57	neqned 2801	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( x mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
59	56, 58	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
60	59	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
61		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) )
62	1	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( x + T ) = ( x + ( 2 x. pi ) )
63	62	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) )
64	63	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) )
65	62	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x + T ) / 2 ) = ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 )
66	65	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) = ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) )
67	66	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) )
68	64, 67	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 |- ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) )
69	61, 68	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
70	60, 69	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
71	70	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
72	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( 2 x. pi ) e. CC )
73	34, 36, 72	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
74		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
75		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
76		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. CC
77		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. CC
78	76, 77	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) e. CC
79		div32 10705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) )
80	74, 75, 78, 79	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) )
81		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
82	78, 76, 81	divcli 10767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. pi ) / 2 ) e. CC
83	82	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. pi ) / 2 )
84	77, 76, 81	divcan3i 10771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. pi ) / 2 ) = pi
85	83, 84	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = pi
86	80, 85	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = pi
87	86	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi )
88	73, 87	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) )
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
91	38, 40, 45	adddid 10064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
92	34, 72	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( N x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( N x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
94	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> pi e. CC )
95	41, 93, 94	addassd 10062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
96	90, 91, 95	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) )
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) )
98	41, 93	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) e. CC )
99		sinppi 24241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) e. CC -> ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
101		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> N e. NN )
102	101	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> N e. ZZ )
103		sinper 24233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
104	41, 102, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
105	104	negeqd 10275	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
106	97, 100, 105	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
107	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( 2 x. pi ) e. CC )
108	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> 2 e. CC )
109	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> 2 =/= 0 )
110	39, 107, 108, 109	divdird 10839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) )
111	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) / 2 ) = pi )
112	111	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( x / 2 ) + ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = ( ( x / 2 ) + pi ) )
113	110, 112	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + pi ) )
114	113	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) = ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) )
115	39	halfcld 11277	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x / 2 ) e. CC )
116		sinppi 24241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
118	114, 117	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
119	118	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
120	119	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
121	106, 120	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
122	121	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
123	115	sincld 14860	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( x / 2 ) ) e. CC )
124	107, 123	mulneg2d 10484	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) = -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
125	124	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
126	125	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
127	71, 122, 126	3eqtrrd 2661	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
128	33, 52, 127	3eqtr2rd 2663	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
129	31, 128	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
130	7	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. RR -> T e. RR )
131	15, 130	readdcld 10069	. . 3 |- ( x e. RR -> ( x + T ) e. RR )
132		dirkerper.1	. . . 4 |- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
133	132	dirkerval2 40311	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( x + T ) e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
134	131, 133	sylan2 491	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
135	132	dirkerval2 40311	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` x ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = ( ( D ` N ) ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   RR+crp 11832   mod cmo 12668   sincsin 14794   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem111  40434